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1、一、填空题（每题 2 分，共 20 分） 1、记三事件为 A， B， C. 则用 A， B， C 及其运算关系可将事件， “A， B， C 中只有一个发生” 电大考试电大小抄电大复习资料 表示为 . 2、匣中有 2 个白球，3 个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球 比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知 P(A)=0.3，P（B）0.5，当 A，B 相互独立时， 。06505P(A)_.,(|)_. 4、一袋中有 9 个红球 1 个白球，现有 10 名同学依次从袋中摸出一球（不放回） ，则第 6 位 同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量 在区间 上服从均
2、匀分布，则对 以及任意的正数 ，X(,)abacb0e 必有概率 Pcxe ,ceb,ba 6、设 服从正态分布 ，则 N ( 3-2 , 42 ) .X2(,)N23XY 7、设 11863BEDn,p)n_p_（ 且 ， ， 则 8、袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，在袋中同时取出 3 只，以 表示取出 3 只X 球中的最大号码。则 的数学期望 4.5 。)( 9、设随机变量 的分布律为(,)XY X Y 1 2 3 1 0.12 0.10 0.28 2 0.18 0 0.12 3 0 0.15 0.05 则条件概率 2/5 .|YXP 10、设 来自正态总体 , ,当常12
3、, )10(N 219285241 iiiiii XXY 数 = 1/4 时， 服从 分布。kkY2 二、计算题（每小题 10 分，共 70 分） 1、三台机器因故障要人看管的概率分别为 0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率 （2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率 解：以 Aj 表示“第 j 台机器需要人看管 ”，j =1，2，3，则: P( A1 ) = 0.1 , P( A2 ) = 0.2 , P( A3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得312309850612.121197313232312 112308509850
4、950985664PAAPA 2、甲袋中有 n 只白球、 m 只红球；乙袋中有 N 只白球、 M 只红球。今从甲袋任取一球放入 乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？ 解：以 W 甲 表示“第一次从甲袋取出的为白球” ，R 甲 表示“第一次从甲袋取出的为红球” ， W 乙 表示“第二次从乙袋取出的为白球” ， 则所求概率为 PWPWR乙乙111nmNNmMnMCCn 3、设随机变量 X 的概率密度为 , 试求（1）常数 A;cos, |()2 0Axf 乙 (2) 分布函数 ; (3) 概率 。()Fx 4PX 解：（1） 由归一性可得： ，从而 212fxdAcosxd 12A
5、 22 2xxxf,.Ffddxf, 0212,xsin,40123024 .PXcosxd 4、 （1）已知 X 的分布律为 -1 0 1 2 3 P 613 计算 。 （5 分）)(2D 解： 222414XEX15235464 （2） 、设 ，求 的概率密度.（5 分）),0(N2Y 解：Y 的密度函数为： 210ye,f(y) 5、设 的概率密度为 . (,)X 0, (),(,)xyef乙 (1) 试求分布函数 ； ,yxF (2) 求概率 其中区域 由 轴, 轴以及直线 所围成.()PGXY1yx 解: 001 xy()xy ed,.,f,d, 乙1xy,x,y,乙2G.P(x,y
6、)fx,yd 10 2x(y)ede 6、设二维随机变量 的概率密度为 ,求常数 及(,)XY(1),0(,)kxf乙k 边缘概率密度.并讨论随机变量 的相互独立性。, 解：由归一性知： 011(,)yxfxdkdy016k6(,)Xfxfyd001xdyx乙601x乙(,)Yfyfx16y乙230-， 其 他yy 显然 ，故 X 与 Y 不相互独立。,XYf 7、设总体 的概率密度为 , 其中 为未知参数. 若 1,0()xf乙 0 是来自母体的简单子样，试求 的矩估计与极大似然估计.nX,1 解：（1） 令 110EXxd 解得 的矩估计为 2X （2）似然函数 1121 nni iiLx
7、x 对数似然函数 1lll2 nii 令 1lnl0niiLx 解得 的极大似然估计为 21lniix 三、证明题（每题 5 分，共 10 分） 1、 为来自总体 X 的样本，证明当 时， 为总体均值 的2,Xab12aXb()EX 无偏估计。 证明：设总体均值 = ，由于 为来自总体 X 的样本，()E12, 因此 12 而 为总体均值 的无偏估计，故应该有2ab() 112Xabab 从而 2、设 是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为 的泊松分布，证明,XY 21, 服从参数为 的泊松分布。Z21 证明：由题知 ，即 12,XPY1 2,!mnPePe 令 ，且由 的相互独立性可得：XY, Zkk0,mPiYki120! ikikie12120!ikiie1212,.! 即 服从参数为 的泊松分布XY1