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1、复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transforms,朱传喜等编 江西高校出版社 南昌大学数学系 曹红哲 E-mail:,复数的诞生,先从二次方程谈起: 公元前400年，巴比伦人发现和使用 则当 时无解，当 时有解,二千多年没有进展：寻找三次方程,的一般根式解,G. Cardano (1501-1576) : 怪才，精通数学，医学，语言学，文学，占星学他发现,没有根，形式地表为,L.Euler(1707-1783): 瑞典数学家,13岁入大学，17岁获硕士,30岁右眼失明，60岁完全失明,1748年：Euler公式,C.Wessel (挪威174
2、5-1818)和R.Argand(法国1768-1822）将复数用平面向量或点来表示,K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的怀疑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展,R. Descartes(笛卡儿): 1596-1650, 法国哲学家，坐标几何的创始人1637他称一个负数的开方为虚数(imaginary number).,1777年：首次使用“i“表示，创立了复变函数论，并应用到水利学，地图制图学 ,一般, 任意两个复数不能比较大小。,复数z 的实部 Re(z)
3、 = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part),判断复数相等,定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),2. 代数运算,四则运算,z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，,共轭复数的性质
4、,3.共轭复数,定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.,(conjugate),2. 向量表示法,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时),辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，,z=0时，辐角不确定。,当z落于一,四象限时，不变。,当z落于第二象限时，加 。,当z落于第三象限时，减 。,由向量表示法知,3. 三角表示法,4. 指数表示法,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.,解,1),z在第三象限, 因此,因此,2) 显然, r = | z | = 1, 又,因此,练习
5、：,写出 的辐角和它的指数形式。,解：,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形.,例1 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示. 解 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为,因此, 它的复数形式的参数方程为,z=z1+t(z2-z1). (-t+),由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成 z=z1+t(z2-z1). (0t1),取,得知直线段的中点为,例2 求下列方程所表示的曲线:,解：,设 z = x + i y , 方程变为,几何上, 该方
6、程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线, 方程为 y = - x , 也可用代数的方法求出。,O,x,y,-2,2i,y=-x,设 z = x + i y , 那末,可得所求曲线的方程为 y = -3 .,O,y,x,y=-3,注: 这里A是复数,B是实数.,扩充复数域-引进一个“新”的数:,扩充复平面-引进一个“理想点”: 无穷远点 .,约定:,注: 若无特殊说明,平面均指有限复平面.,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。,证明 设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2
7、=r2(cos2+isin2)=r2ei2 则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2cos (1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2),1. 乘积与商,因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,1.3 复数的乘幂与方根,几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。,定理1可推广到n 个复数的乘积。,定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。,证明, Argz=Argz2-Argz1 即：,由复数除法的定义 z=z2
8、 /z1，即 z1z = z2 |z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z10）,设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。,2.复数的乘幂,定义,问题 给定复数z=re i ，求所有的满足n=z 的 复数。,3.复数的方根,（开方）乘方的逆运算,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。,几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。,1. 区域的概念,邻域,复平面上以 z 0为中心，任意 0为半径的
9、圆 | z -z 0|(或 0 | z z 0|) 内部的点 的集合称为点 z 0 的（去心）邻域 。 记为(z0 ,) 即，,设G是一平面上点集, 1.4 复平面上的点集,连通是指,D-区域,2. 简单曲线（或Jardan曲线),令z(t)=x(t)+iy(t) atb ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， atb,3. 单连通域与多连通域,简单闭曲线的性质,例如 |z|0）是单连通的； 0r|z|R是多连通的。,单连通域,多连通域,多连通域,单连通域,1. 复变函数的定义,与实变函数定义相类似,1.5 复变函数,例1,例2,在几何上， w=f(z)可以看作：,定义域,函数值集合,2. 映射
10、的概念,复变函数的几何意义,以下不再区分函数与映射（变换）。,在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,例3,解,关于实轴对称的一个映射,见图1-11-2,例4,解,图1-1,图1-2,图2,例5,3. 反函数或逆映射,例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射,为多值函数,2支.,定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*,例 已知映射w= z3 ，求区域 0argz 在平面w上的象。,例,1. 函数的极限,几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 邻域中,1.6 复变函数的极限和连续性,(1) 意义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高.,(2) A是复数.,2. 运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理1,(3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.,例1,例2,例3,3.函数的连续性,定义,定理3,例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。,证明,定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数； 连续函数的模也连续。,有界性：,