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1、第二节、统计推断中常用的三个分布,一、 分布,自由度为v的 分布的概率密度为 （图6.1）,1、 分布的数字特征：EX=v, DX=2v,2、 变量的典型模式 独立标准正态随机变量的平方,和服从 分布：设U1, U2 ,Uv是相互独立的标准正态 随机变量，则随机变量,服从自由度为v的 分布自由度v恰好是形成变量,的标准正态随机变量的个数,分布的分位数 统计推断常要用到,4、,分布的上侧分位数以,表示自由度为v的,分布水平为上侧分位数(图6.1)，它决定于,如下等式：,附表5是上侧分位数,的数值表,例6.8 假设随机变量X服从自由度为n的,分布，求EX和DX,解 设U1, U2 ,Un是独立标准
2、正态分布随机变量，则 服从自由度为n的,分布的随机变量X可以表示为：,由此可见,于是,二、t 分布,自由度为v的t分布的概率密度为（图6.2）,由图6.2可见t分布亦称“学生”分布t分布曲线与标准正态 密度(x)曲线非常接近,1、t 分布数字特征,2、t 变量的典型模式 设变量UN(0,1)，,是服从自由度,为V的,分布变量，且与U独立，则随机变量,服从自由度为v的t分布,3、t 分布的分位数 自由度为的分布水平双侧分位数,（附表4）决定于,其中t表示服从自由度为v的t分布的随机变量,4、t 分布的极限分布 当自由度v时t分布的极限分布 是标准正态分布实际应用中，当v30时即可用标准 正态分布
3、逼近t分布,例6.10 设随机变量X，Y1 ， Y2相互独立且都服从标准正态 分布，求随机变量,的概率分布,解 由条件知X，Y1 ， Y2相互独立且都服从标准正态分布 随机变量,作为两个独立标准正态随机变量的平方和，服从自由度 为2的,分布因为,其中,所以由服从t分布的随机变量的典型模式知，随机变量 z服从自由度为2的t分布,独,三、F 分布,自由度为(f1 , f2 )的F分布的概率密度为（图6.3）,其中m= f1 /2,n= f2 /2,F分布亦称方差比分布，因为方差相等的两个正态总体 的样本方差之比服从F分布（参见6.3.3），其两个参 数(f1 , f2 ) ，分别称做第一自由度和第
4、二自由度,1、F 变量的典型模式 设随机变量,相互独立，都服从,分布，自由度分别为f1 和 f2, 则随机变量,图6.3 分布曲线和分位数,服从F分布，自由度为(f1 , f2 ) ，故f1 和 f2亦分别称做分子 自由度和分母自由度,2、F 变量的倒数 由 (6.22)式容易证明，若变量F服从自由 度为(f1 , f2 )的F分布，则1/F服从自由度为(f2 , f1)的F分布,3、F 分布的分位数 附表6是F分布的上侧分位数表自由 度为(f1 , f2 )的F分布水平上侧分位数f (f1 , f2 )的数值表， 其中f (f1 , f2 )决定于：,而F表示服从自由度为的F分布的随机变量对于不同的自 由度和0.50，可以利用如下关系式求出分位数：,例6.11 设随机变量X服从的t分布，求,的概率分布,解 服从自由度为f的t分布的随机变量X，可以表示为,其中U服从标准正态分布，分母中,服从自由度为,f 的,分布，而且U和,相互独立由于,服从自由度为1的,分布，因此由服从F分布随机,变量的典型模式，知随机变量,服从自由度为(1,f)的F分布,