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1、7.9 多元多项式环,第七章 多项式环,前面介绍了一元多项式的基本性质，但是除了一元多项式外；还有含多个文字的多项式，即多元多项式，如,下面简单介绍有关多元多项式的一些概念。,如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项。一些单项式的和,就称为n元多项式，简称多项式，,和一元多项式一样，n元多项式也可以定义相等，相加、相减、相乘。,相等：,如果F上两个n元多项式有完全相同的项（或者只差一些系数为零的项），则称这两个多项式是相等的。,相加：,例如：,设,则f与g的和是,相减：,设,把g的系数都换成各自的相反数，所得多项式叫做g的负多项式，记为,相乘：,例如,则,这样定义的多项式的加法
2、和乘法与中学代数里多项式的运算一致，n元多项式的运算满足以下运算律：设,则,（加法结合律）,（加法交换律）,（乘法结合律）,（乘法交换律）,（乘法分配律）,的多项式环，记作,同一元多项式一样，也可以谈论n元多项式的次数。,设,对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式f的次数，记为,设f、g是F上两个不等于零的n元多项式，则f与g的和与积的次数与f、g的次数有如下关系：,1、,2、,结论1是显然的，但要证明结论2，还得先考虑多元多项式的排列顺序，在一元多项式中，我们看到多项式的升幂（或降幂）排列对许多问题的讨论是方便的。为此，对多元多项式也引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字
3、典排列的原则得出的，因而称为字典排列法。,每一类单项式（1）都对应一个n元数组,为了给单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了。,考虑,而,记为,例如，对多项式,按字典排列法写出来就是：,应该注意的是，,把一个多项式按字典排列法书写后，次数较高的项并不一定排在次数较低的项的前面，例如上面的首项次数为4，第二项的次数为6，而,关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下一节讨论对称多项式时将要用到,定理 1：,证明：,的首项为,为了证明它们的积,为fg的首项，,只要证明数组,先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了。,其中,于是,推论 1：,推论 2：,现在回到两个
4、n元多项式的乘积的次数上来，,则称f是一个k次齐次多项式，简称k次齐次。,例如,就是一个4次齐次多项式。,两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的次数就等于这两个多项式的次数之和。,任何一个m次多项式,都可以唯一地表成几组齐次多项式的和，即,是i次齐次多项式，,若,就是f的一个i次齐次成分。,数域F上两个不等于零的n元多项式的,乘积的次数等于这两个多项式次数的和。,定理 2：,证明：,它们的次数分别为m和s，把f与g分别写成齐次多项式的和：,于是,由推论 2：,且是一个m+s次齐式，,其余各项,或者等于零，或者是一个次数低于m+s的齐式。,因此,同一元多项式一样，F上n元多项式与多项式函数是相同的。,就得到数域F中一个确定的数，称为,如果,由此一个n元多项式就确定一个n元多项式函数。,对,作映射：,的值。,设,如果,则对,都有,这说明相等的多项式确定相同的多项式函数。,下面证明其反面也成立。,定理 3：,设,如果对任意,证明思路：,这里,任意取定,代入得,已知对,有,取,则有,由于定理对一元多项式成立，故有,有,由归纳假设，故,从而,