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1、对曲面的侧的认识,在流体力学中，为描述流体运动的规律，需要考虑流体通过给定曲面的流量. 在电学中对电磁场的讨论，又常需要考虑电力线通过给定曲面的电通量。,需要考虑曲面的侧，并给出曲面的侧的量化描述。,当连通曲面S上到处都有连续变动的切平面（或法线）时，可以借助法线方向描述曲面的侧。,曲面在每一点处法线的方向有两个，当取定其中一个为正方向时，另一个指向为负方向。,双侧曲面与单侧曲面,设连通曲面S上到处都有连续变动的法线。A为曲面S上的某一点，L为S上经过A的、且不超过S的边界的闭曲线。 设M为动点，它在A处与A有相同的法线方向。当M从A出发沿L连续移动时，作为M的法线方向也连续地变动。 当M沿L
2、回到A时，若此时M的法线方向仍与A的法线方向一致，则称曲面S为双侧曲面；若此时M的法线方向与A的法线方向相反，则称曲面S为单侧曲面。,6. 双侧曲面的例子,S,S,上侧,下侧,外侧,S : z= z(x, y),能够区分不同侧面的曲面。,双侧曲面指,内侧,沿S内任一条闭曲线（不越过S的边界）移动一周，点M 处的法方向 方向不变。,7. 有向曲面双侧曲面,S,M,曲面的侧,用曲面上法向量的指向来确定。,7. 有向曲面双侧曲面,S,M,沿S内任一条闭曲线（不越过S的边界）移动一周，点M 处的法方向 方向不变。,曲面的侧,用曲面上法向量的指向来确定。,6. 双侧曲面的例子,S,S,上侧,下侧,外侧,S : z= z(x, y),内侧,B,8. 单侧曲面麦比乌斯( )带,A,B,D,C,A,D,C,A,B,B,D,C,A,D,C,A,B,C,D,8. 单侧曲面麦比乌斯( )带,.,A,B,B,D,C,A,D,C,这是个单侧曲面,两端粘合,8. 单侧曲面麦比乌斯( )带,放大一下,.,这是个单侧曲面,8. 单侧曲面麦比乌斯( )带,沿红色闭曲线移动一周，,单侧曲面就是无法区分不同侧面的曲面。,本课只研究双侧曲面。,.,M,点M处的法方向 就变成初始位置的反方向。,