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1、7.2 多元函数的基本概念,1. n 维空间,n 元有序数组,的全体所构成的集合记作,中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示, 即,定义:,线性运算,其元素称为点或,n 维向量.,xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量.,称为 n 维空间,的距离定义为,与零元 0 的距离为,2. 区域,(1). 邻域,点集,称为点 P0 的 邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,(2). 内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P :, 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P
2、) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点 ;,则称 P 为 E 的边界点 .,的外点 ,显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必不属于 E ,E 的,边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .,(3) . 开区域及闭区域, 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；, 若点集 E E , 则称 E 为闭集；, 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的 ;, 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;,。 。, E 的边界点的全体称为 E
3、 的边界, 记作E ;,例如，在平面上,开区域,闭区域, 整个平面, 点集,是开集，,是最大的开域 ,也是最大的闭域 ;,但非区域 ., 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域 ,界域 .,否则称为无,7.2.3多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 三角形面积的海伦公式,定义1. 设非空点集,点集 D 称为函数的定义域 ;,数集,称为函数的值域 .,特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数,当 n = 3 时, 有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数 , 记作,例如, 二元函数,定义域为,圆域,说明:,二元
4、函数 z = f (x, y), (x, y) D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面 .,三、二元函数的极限,定义2. 设 n 元函数,点 ,则称 A 为函数,(也称为 n 重极限),当 n =2 时, 记,二元函数的极限可写作：,P0 是 D 的聚,若存在常数 A ,对一,记作,都有,对任意正数 , 总存在正数 ,切,7.2.3 多元函数的极限与连续,例1. 设,求证:,证:,故,总有,要证,例2. 设,求证：,证：,故,总有,要证, 若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限
5、.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,以不同方式趋于,不存在 .,例3. 讨论函数,函数,例4. 求,解: 因,而,此函数定义域 不包括 x , y 轴,则,故,2. 多元函数的连续性,定义7.3,例如, 函数,在点(0 , 0) 极限不存在,又如, 函数,上间断，称为间断线.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.,定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),闭域上二元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,解: 原式,例5.求,例6. 求函数,的连续域.,解:,备用题,1. 设,求,解法1 令,1 .,设,求,解法2 令,即,2.,是否存在？,解: 利用,所以极限不存在.,3. 证明,在全平面连续.,证:,为初等函数 , 故连续.,又,故函数在全平面连续 .,由夹逼准则得,