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1、多元函数的极值,一、多元函数极值的概念,二、最值问题,三、条件极值,第九章,第八节,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,说明,(1)函数的极值点必须是函数定义域的内点.,(2)极值的概念可以推广到一般的多元函数.,例1,例2,例3,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值
2、,则有,存在,故,处的切平面方程为,由可微函数取极值的必要条件：,此时, 切平面平行于 xy 平面.,下面看看函数极值的几何意义,故切平面方程实际为,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,证明见 第九节(P122) .,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,例4.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏
3、导数,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,极值点和驻点的关系,(1)极值点可能是驻点,(2)极值点可能不是驻点,(3)驻点不一定是极值点,例1,先求开区域内的极值，再求区域边界上的极值，从中选取最值.,提示与分析:,2005年考研,解,唯一驻点,例2.,解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时
4、, 水箱所用材料最省.,例3. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满
5、足,设,记,例如,故,故有,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,3. 根据实际问题的性质判断可疑极值点究竟是不是 极值点.,拉格朗日乘数法,求 z = f (x, y) 在附加条件 (x, y)=0 下的极值.,1. 作拉格朗日函数,2. 求解方程组,解出 x, y, , 则点 (x, y) 就是可疑极值点.,问题：,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,作拉格朗日函数,解,例1
6、,例2.,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,下面举一例说明常见的解方程组的技巧.,例3,求函数,在约束条件,
7、下的极值.,(下面仅就解此方,程组的方法进行讨论, 不具体求出极值),解,作拉格朗日函数,用拉格朗日乘数法求条件极值,根据极值必要,条件求解方程组的解即求驻点,此方程组一般都是,非线性的,解法的技巧性较高,需视具体方程组的特,征采用特殊的处理方法.,解方程组,方法一,注意到前三个方程的第一项均是x, y, z,三个变量中两个的乘积,如果将各方程乘以相应缺,少的那个变量,那么就都成为xyz,再消项.,即,(a),乘以x得:,乘以y得:,(b),乘以z得:,(c),(a) + (b) + (c)得:,(d),把方程组中的第四个方程代入(d),得,再把(e)分别代入(a), (b), (c)式便得,
8、(e),方法二,因x, y, z 都不等于0,上两式相除,立即消去,得到,改写为,改写为,同理对方程组中的第二,三个方程作类似,得到,从而,处理,再代入方程组中的,第四个方程,便得,方法三,先解出,把方程组的第四个方程代入(d)式,得,再把,分别代入方程组的第一,二,三个方程中便得,内容小结,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),3. 函数的最值问题,在条件,求驻点 .,