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1、周 圣 武,数理统计,Tel: 13852138385 E-mail: ,中国矿业大学 理学院,有些随机现象需要用几个随机变量来描述.,在打靶时, 弹着点的位置是由X,Y来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由X,Y,Z来确定的.,5. 多维随机变量,一般地,设随机试验E的样本空间是,设,是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个 维向,量.,以下重点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照 .,定义1 设随机试验,的样本空间是,设,和,是定义在,上的随机变量，则由它们构成的一,个向量,称为二维随机变量或二维随机向量。,定义2 设,是二维随机变量，对于任意实数,二元函数,称为二维随机变量,的分布
2、函数，或联合分布函数。,二维随机变量及其分布函数,将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,分布函数的函数值的几何解释,随机点 落在矩形域,内的概率为,分布函数的性质,当 时，,对于任意固定的 ，,对于任意固定的 ，,当 时，,2.,3.,解 由分布函数的性质,得,二维离散型随机变量,设 所有可能取值为 ，则,称,定义4,定义3,是有限多对或可列无限多对，,则称 为二维,离散型随机变量.,性质：,分布律的表格表示,定义5 （X，Y）的联合分布函数为：,其中和式是对一切满足xix，
3、yjy的i, j来求和的。,例1,将骰子抛两次，X第一次出现的点数， Y第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。,解,1 2 3 4 5 6,1 2 3 4 5 6,解,可能取值均为1,2,3.,同理可得,所以,的分布律为,定义 设二维随机变量,的分布函数为,若存在,使得对任意实数,总有,则称,为二维连续型随机变量,称为,的,概率密度,或称为随机变量,和,的联合概率密度。,3.二维连续型随机变量,f (x,y)的性质:,若,在点,连续，则有,即连续型随机变量在某点的,概率为0。,G表示xoy平面上的区域,落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面为顶的曲顶柱体体积。,试求：, 分布函数,
4、概率, 概率,解, 由概率密度的性质,得,从而得, (X,Y)的分布函数, 将,看作平面上随机点的坐标，有,解 积分区域如右图所示,4.两个重要分布,（1） 设平面区域D的面积为A ，若随机向量（X，Y）的概率密度为,则称随机向量（X，Y）在区域D上服从均匀分布。,均匀分布,向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域D1的概率与小区域的面积成正比，而与D1的形状及位置无关.则质点的坐标 (X,Y)在D上服从均匀分布.,（2）若区域D内任一部分区域D1，其面积为A1，则有,的二维正态分布，记为,若二维随机变量,的概率密度为,其中,都是常数,且,则称,服从参数为,二维正态分布,n维随
5、机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数为,高维随机变量,性质,对每一个变量右连续,若n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的概率密度为,n维正态分布,其中,为正定矩阵，则称X服从n维正态分布。,5.边缘分布,的分布函数为,分别,的分布函数为,设,记,和,的边缘分布函数。,，称为关于,和,同理可得,问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布?,解,的边缘分布函数为,关于,同理，,的概率密度为,和,记,所以，,服从参数,的指数分布，,的指数分布。,服从参数,（1）离散型随机变量的边缘分布律,设,的分布律为,则,关于,的边缘分布律为,记作,记作,同理,通常用以下表格表示,的分布律和边缘分布律,例
6、1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 X ,Y 的边缘分布律 .,解 ( X, Y ) 的可能取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3),（2）连续型随机变量的边缘概率密度,其概率密度为,则:,同理,关于X 和Y 的边缘概率密度。,分别是,解,例2,上服从均匀分布,密度 和,的概率密度为,例3 已知,解,例4 已知,解,由对称性得,的边缘概率密度,由于,例5 设二维随机变量,试求,的边缘概率密度.,解,令,，则有,即,同理,2.条件分布函数,1.条件分布律,3.条件概率密度,6. 条件分布,（1
7、）二维离散型随机变量的条件分布,设 是二维离散型随机变量，其分布律为,关于 和 的边缘分布律分别为,设 ，我们考虑在事件 已发生的条件下事件 发生的概率，,由条件概率公式可得,定义1 设 是二维离散型随机变量，对于固定 的 ，若 ，则称 为在 的条件下 的条件分布律。,易知,条件概率具有分布律的性质,同样，设 是二维离散型随机变量，对于固定 的i，若 ，则称 为在 的条件下 的条件分布律。,例1 袋里有2个白球，3个黑球，从袋里任取2个球， 用X=1表示第一次取到的是白球，X=0表示第一次取到的是黑球；用Y=1表示第二次取到的是白球，Y=0表示第二次取到的是黑球，如果是放回抽样，试求: (1)
8、在X=0 的条件下的Y条件分布律; (2)在Y=1的条件下 X的条件分布律。,解 因为是放回抽样，所以,所以(X,Y)的分布律和边缘分布律为,又由,知在条件 的条件下 分布律为,同理，在 的条件下 的条件分布律为,同样，在条件 下 的条件分布函数为,在条件 下的 条件分布函数可由条件分 布律得出，即,（2）连续型随机变量的条件分布,设 是二维连续型随机变量，因为对任意的x, y 有 所以不能直接用条件概率公式得到条件分布。 下面我们用极限的方法导出条件分布函数。,定义2 给定 ，设对任意固定的正数 ， ，如果对任意实数 ， 极限,存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，写成 P X x
9、|Y= y ，或记为 FX|Y(x|y).,设 的分布函数为 ，概率密度为 ，在点 处 和 连续且 ，则有,若记 为在条件 下 的条件概率密度，则由上式可得,类似地有,由此可得,条件概率密度的性质,解,例2 设随机变量(X,Y)的概率密度为,其中G是由,围成的区域，求条件概率密度,由,例3 设 的联合分布密度为,解 关于 的边缘密度为,例 4,解,由,第三章,1. 两个随机变量的独立性 2. n个随机变量的独立性,7. 相互独立的随机变量,均有,定义1 若二维随机变量,对任意的实数,成立，则称随机变量,是相互独立的。,下面我们寻找判断X，Y 相互独立的办法：,相互独立,命题：,.若,是离散型随
10、机变量，则,的充分必要条件是,即,相互独立,.若,是连续型随机变量，则,的充分必要条件是,相互独立,几乎处处成立,例1 已知随机变量,的分布律为下图，问,是否相互独立？,解,由X,Y的联合分布律求其边缘分布律为,由于,因此,相互独立。,例2 设随机变量,相互独立，试确定 a,b,c 的值？,因为,相互独立,所以,由归一性,解 因为,关于,的边缘概率密度,均有,故,与,是相互独立的。,显然，对任意的实数,例4（约会问题）甲乙两人决定在老地方相会，他们,在晚上7:007:30之间各自随机到达，求：, 先到若等待5分钟以上的概率；, 两人在5分钟之内能见面的概率。,解,以7:00为起点0，以分为单位。,设甲到达的时间为X ；,乙到达的时间为Y，,则X、Y都是服从0,30上的均匀分布的随机变量，且,与,是相互独立的，所以, 所求概率为,（对称性）, 所求概率为,例6,若二维随机变量（X,Y）服从正态分布,试证明X与Y 相互独立的充分必要条件是,Thank you,