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1、,第十一章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,（按积分区域分类）,定积分,二重积分,三重积分,D,曲线积分,曲面积分,一型：对弧长,二型：对坐标,一型：对面积,二型：对坐标,Stokes 公式,高斯公式,格林公式,1. 多元函数积分学概况,推 广,推 广,推 广,推 广,定积分解决了非均匀直线的质量,二重积分解决了非均匀平面薄片的质量,三重积分解决了非均匀空间物体的质量,对弧长的曲线积分解决 非均匀曲线的质量,对坐标的
2、曲线积分解决变力沿曲线所作的功,定积分还能解决变力沿直线所作的功,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对弧长的曲线积分,第十一章,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.引例: 曲线形构件的质量,采用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当线密度 为常数时， 此构件的质量 曲线长度。,设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的任意分割,局部的任意取点,2.
3、定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，, 称为积分弧段 .,曲线形构件的质量,和对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,如果 L 是闭曲线 , 则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,(1) 若在 L 上 f (x, y)1,(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?,否!,对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中,dx 可能为负.,3. 性质,（k 为常数),( 由 组成),( l 为曲线弧 的长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、对弧长的曲线积
4、分的计算法,基本思路:,计算定积分,（证略）,求曲线积分,根据定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,因此积分限必须满足,(2) 注意到弧微分,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即要保证ds 0 ，因此积分限就必须满足,(1),(3),即被积函数 f(x,y)应取在 曲线上。,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1)
5、之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算半径为 R ,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).,解: 建立坐标系如图,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 例5中 改为,计算,解:
6、 令, 则,圆的形心在原点, 故, 如何,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,计算,其中L为右半圆,以x为变量，,所以必须分L=AC+CB,由于积分限必须满足上限大于下限所以有,若不分，x的上下限如何定？x由0到1，只表示A到C，x由0到0不行。,而对,所以,由于,因此有,最后请注意这里L=AC+CB，也可L=BC+CA,积分值不变,若用极坐标：,这表明改变方向其值不变，对弧长的曲线积分 与方向无关，,而后面将要介绍的对坐标的曲线积分则与方向有关。,例7. 计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 有一半圆弧,其线密度,解:,故所求引力为,求
7、它对原点处单位质量质点的引力.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 定义,2. 性质,( l 是曲线弧 的长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 已知椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,(1) 求它关于 z 轴的转动惯量,(2) 求它的质心 .,解: 设其密度为 (常数).,(2) L的质量,而,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,故重心坐标为,作业 P131 3 (3) , (4) , (6) , (7) 5,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1. 设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,提示: 分段积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. L为球面,面的交线 , 求其形心 .,在第一卦限与三个坐标,解: 如图所示 , 交线长度为,由对称性 , 形心坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,