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1、第五章 极限定理,第5.1节 伯努利试验场合的极限定理,第5.2节 收敛性,第5.3节 独立同分布场合的极限定理,第5.4节 强大数定律,第5.5节 中心极限定理,第5.1节 伯努利试验场合的极限定理,一、问题的提出,二、伯努利大数定理,三、棣莫弗-拉普拉斯极限定理,四、棣莫弗-拉普拉斯极限定理的 一些应用,一、问题的提出,1、频率与概率,由概率的统计性定义可知：概率是频率的稳定值。 也就是当独立重复试验次数增加时，其频率会呈现出某种稳定性，这种稳定性体现了概率的本质特征.如何在理论上给出这种稳定性的证明呢？,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下
2、进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,大量的随机现象中平均结果的稳定性,2、大数定律的引入,大量抛掷硬币 正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的 废品率,对于n重伯努利试验而言，事件出现的次数服从二 项分布，即,而频率具有随机性（即波动性），其期望与方差为,显然当试验次数n增大时，频率的期望值不变，而方差 的极限为零，而方差的极限为零相应的随机变量为常 数，也就是频率当n增大时，其极限值为常数。,如何表示这种极限思想呢？
3、它与数学分析中的极限区别在哪里呢？,1713年伯努利在其论文中提出了这种极限的定义：,由此给出了概率论极限定理的第一个结论大数定律,3、中心极限定理的引入,将二项分布的随机变量标准化，即得,此随机变量服从怎样的分布呢？,法国数学家棣莫弗证明了当p=1/2时，,后来拉普拉斯将此结论推广到0p1的情形，这样就得到了极限定理的另一类中心极限定理的第一个定理棣莫弗拉普拉斯中心极限定理.,4、大数定律的定义,表示n次试验中事件A出现的次数，而,表示n次试验中事件A出现的频率.前面讨论了频率与概率的关系，对于一般情形，会是怎样的结果呢？,定义5.1.1,二、伯努利大数定律,伯努利大数定律是概率论极限定理的
4、第一个定理，1713年由伯努利给出的，主要证明了概率是频率的稳定值. 为了给出伯努利大数定律的一个简单证明，我们首先介绍一个比伯努利大数定律更强的一个大数定律.,1、车贝晓夫大数定律,车贝晓夫大数定理,车贝晓夫,证明：,由车贝晓夫不等式可得,证毕,则,车贝晓夫大数定律是由俄国数学家车贝晓夫1866年给出证明的，它是一个关于大数定律相当普遍的一个结论.,（这个接近是概率意义下的接近）,即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时, 几乎变成一个常数.,车贝晓夫大数定律的意义,马尔可夫注意到车贝晓夫的证明过程中，只用到,由此给出马尔可夫大数定律：,车贝晓夫定理的另一种叙述:,证明：,
5、引入随机变量,伯努利,2、伯努利大数定律与泊松大数定律,显然,根据车贝晓夫大数定律有,证毕,关于伯努利大数定律的说明:,故而当n很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.,泊松,证明,引入随机变量,则由类似于伯努利大数定理的证明可得结论.,3、大数定律的重要意义,根据实际生活经验，概率接近1或0的事件在生活、工作中具有非常重要的意义，概率论的一个基本问题就是要建立概率接近1 或0的规律，特别是大量独立或弱相关因素累积结果所发生的规律，大数定律就是这种概率论命题的一个重要部分。,伯努利大数定律提供了频率稳定
6、于概率的理论基础，这一结论在数理统计中有重要应用，特别是参数估计问题中，这些大数定律的作用非常明显.,三、棣莫弗拉普拉斯极限定理,1、局部极限定理与积分极限定理,设随机变量序列为,则事件A在试验中出现的次数为,2、棣莫弗拉普拉斯极限定理,棣莫弗,拉普拉斯,证明,(i) 先证局部极限定理,由Stirling公式：,因而,又因为,则,这是因为,因此,这是因为,由此即证明当n 时，,定理的第一部分已经证明.,(ii) 再证积分极限定理,又因为,同时注意到：,【定理证毕】,四、棣莫弗拉普拉斯极限定理 的一些应用,1、导出伯努利大数定律,棣莫弗拉普拉斯极限定理伯努利大数定律,因而,所以,因而,2、用频率
7、估计概率时的误差估计,由积分极限定理可知,上述结论可以解决一下几个问题：,3、局部极限定理在二项分布计算中的应用,由局部极限定理可知,则n较大时，二项分布的计算可以用下列近似式：,4、积分极限定理在二项分布计算中的应用,由积分极限定理可知,由此可以得到如下近似计算：,例1 车间有200台车床，它们独立的工作着，开工率各 为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这 个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不 会因为供电不足而影响生产.,解,设需要供电r千瓦，才可以满足题设要求，即,利用极限定理可得,查表可得,因而,一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3
8、 的概率为1/3, 若船舶遭受了90000次波浪冲击, 问其中有2950030500次纵摇角大于 3 的概率是多少？,解,将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为,则是一个随机变量,例2,所求概率为,分布律为,直接计算很麻烦，利用棣莫弗拉普拉斯定理,作 业,习题五p320 1、4、5、8、14、18、19,伯努利资料,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland,车贝晓夫资料,P
9、afnuty Chebyshev,Born: 16 May 1821 in Okatovo, Russia Died: 8 Dec 1894 in St Petersburg, Russia,德莫佛资料,Abraham de Moivre,Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), France Died: 27 Nov 1754 in London, England,拉普拉斯资料,Pierre-Simon Laplace,Born: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, France Died: 5 March 1827 in Paris, France,泊松资料,Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France,Simon Poisson,