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1、第五章 梁的应力,5.1 梁横截面上的正应力,1.1 纯弯曲与横力弯曲,概念： 横力弯曲梁段梁的横截面上既有剪力Q，又有弯矩M，这种梁段叫横力弯曲梁段。 纯弯曲梁段剪力Q=0，而弯矩M=Pa=常数，这种梁段称为纯弯曲梁段。,纯弯曲梁段：CD段 横力弯曲梁段： AC、BD段,1.2 纯弯曲直梁段横截面上的正应力,综合考虑：几何关系,物理关系,静力学,1. 几何关系,梁横截面上的变形,梁横截面上的变形规律：,（2）在变形前，与梁轴线垂直的横向直线m-m和n-n变形后仍保持为直线，且仍与弯曲后的梁轴线保持垂直。,（1）纵向线a-a和b-b，由变形前的直线弯曲为直线。,纯弯曲直梁的受力变形的两个假设
2、：,（1） 平面假设：认为梁的横截面在弯曲后仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线保持垂直。,（2）单向受力假设：认为梁的各纵向纤维之间没有因纯弯曲而引起相互挤压作用，则横截面上各点处的纵向线段均处于单向应力状态。,r中性层处曲率半径,微段梁dx上a-a处沿 轴线x方向应变为,曲率,（1）,（1）式表明，梁在纯弯曲时，其纵向纤维的线应变与纤维距中性层的距离y成正比。,2. 物理关系,纯弯曲直梁上有正应力sz ，而sy=0 。若梁内的应 力不超过材料的比例极限sp ，且材料的拉伸与压缩弹性模量相同时，胡克定律，即得,该式表明，梁横截面上任一点的正应力与该点距中性轴的距离y成正比，而且距中性轴等远处的
3、各点正应力相等。,（2）,3. 静力学关系,（3）,（4）,因为,(5),等直梁在纯弯曲条件下横截面上任一 点处正应力公式为,上式中,为梁的横截面图形对中性轴的惯性矩；,为梁的抗弯刚度。,sx的符号确定方法：,(1) 将弯矩M和坐标y的正负号同时代入； (2) 以中性层为界，变形后梁凸出边的应力必为拉应力，而凹入边的应力则为压应力。,梁横截面上正应力的最大值： 永远出现在梁截面的上、下边缘处,抗弯截面模量,则,不同梁横截面的抗弯截面模量：,1.3 纯弯曲梁段横截面上的正应力,当,时，横截面上的剪力对正应力分布和最大值的影响一般在5以内，因此横力弯曲时横截面上的正应力 采用下式,例题5-1 如图
4、（a）所示的简支梁为56a号工字型钢，截面简化尺寸如图（b）所示。若梁上作用有集中力P125kN，试求： （1）不计梁自重时，该梁危险截面上的最大正应力smaxp； （2）不计梁自重时，该梁危险截面上翼缘与腹板交界处a点的正应力sa。,解 （1）首先不考虑梁自重，作出梁的弯矩图（c），有,危险截面应在梁段CD中任一截面。 利用型钢表，可查得56a号工字钢的截面几何性质：,危险截面上的最大正应力,（2）危险截面上翼缘与腹板交界处a点的正应力,（3）考虑自重时，把自重化为均布荷载，查 型钢表中理论重量q=1.041kN/m。,(发生在梁跨中截面处),由自重引起的最大弯矩:,由自重引起的的最大正应力
5、:,自重和荷载P共同作用下的最大正应力,发生在梁跨中截面上、下边缘处。,5.2 梁横截面上的剪应力,2.1 矩形截面梁的剪应力,当梁在其纵向对称平面内受有横向荷载时，梁的横截面上有剪力Q存在，相应地横截面上必然有剪应力t 。,如下图所示矩形截面梁上两截面上同一个坐标点处的正应力值不相等(图c)，但两截面上的剪力Q值相等(图b) 。,假设：,（1）横截面上各点处的剪应力与该截面上剪力Q的方向一致；,（2）横截面上距中性轴距离相等的各点（y相同）的剪应力相等，即剪应力沿横截面宽度保持不变（如图），该假设适用于高度h大于其宽度b的矩形截面。,矩形截面梁的剪应力公式推导,计算简图,根据图（d）建立平衡
6、条件,根据（b）、（c）可知,（1）,（2）,（3）,得,（4）,将N1、N2和T的表达式（2）、（3）和（4）代入式（ 1），并微分关系,根据剪应力互等定理可知,（a）,可得,故,式（a）即为所求横截面上距中性轴为y的各点处的剪应力计算公式。,其中：Q 计算横截面上的剪力；,（5）,Iz 整个横截面对中性轴的惯性矩；,距中性轴为y的横线以下部分的横截面面积A1对中性轴的面积矩。,b 矩形截面的宽度；,将（5）代入公式（a）可得矩形截面的剪应力计算公式的另一种表达式：,由此可见，当,（b）,时（截面上、下边缘处），,当y=0时（截面的中性轴处），剪应力达到最大值，,上式表明：矩形截面梁横截面上
7、的最大剪应力值必平均剪应力值,或,2.2 工字形截面梁的剪应力,工字梁腹板横截面上剪应力的分布,腹板上距中性轴为y处各点的剪应力（矩形截面）,式中：以腹板厚度d代替公式（a）中计算宽度b，Q为剪力，Iz的表达式为,其中：,（1）,（c）,为y以下图形面积对中性轴z的面积矩，即部分腹板A1和翼缘面积A2对z轴的面积矩之和。,故有,（2）,将式（1）与式（2）代入公式（c）即可求出腹板上任一点处剪应力t 。,中性轴处（y=0）的最大剪应力也就是整个 工字形截面上的最大剪应力t max ，即：,式中：,腹板上的最小剪应力t min应出现在腹板和翼缘交界,式中：,工程上使用轧制的各种工字钢可根据附录型
8、钢表直接查出t max 。,处：,将式（1）与式（2）代入公式（c）即可求出腹板上任一点处剪应力t 。,中性轴处（y=0）的最大剪应力也就是整个工字形截面上的最大剪应力t max ，即：,腹板上的最小剪应力t min应出现在腹板和翼缘交界处,处：,2.3 圆形截面梁的剪应力,假定：,（1）在圆截面上离中性轴等距离处，即与中性轴z平行的任一直线mn上的各点剪应力，其方向都相交于剪力Q平行的主惯性轴y轴上的一点C（如图）。,（2）在圆截面上离中性轴等距离处（如mn直线上）各点的剪应力，其沿剪力Q方向的分量t y的大小都相等。,剪应力t沿Q方向的分量 ty的近似值,圆形截面剪应力,由此，t的近似值,
9、（1）,（1）式中：为弓形面积mkn对中性轴的面积矩；b为弓形面积的弦长（即mn长度）；a为ty和t之间的夹角。,其中：,由（1）式知： ty在中性轴处有最大剪应力tmax:,2.4 薄壁圆环形截面梁的剪应力,假设：,（1）剪应力沿璧厚度不变，或沿璧厚t为常量。,（2）任一点处的剪应力方向与所在点的圆周边相切。（如图所示）,薄壁圆环形截面上的tmax,式中：,在中性轴处有最大剪应力tmax:,5.3 梁的强度条件,3.1 梁的正应力强度条件,概念,危险点发生最大正应力（包括最大拉应力和最大压应力）的各点，叫做梁的危险点。,危险截面最大弯矩或较大弯矩所在截面叫梁的危险截面。,2. 梁的正应力强度
10、条件：,梁的横截面上的最大工作正应力smax不容许超过材料的许用弯曲正应力s，即,当中性轴为截面对称轴时的强度条件为：,当中性轴不为截面对称轴时，拉应力强度条件为：,当中性轴不为截面对称轴时，压应力强度条件为：,例题 某T形截面铸铁梁尺寸如图所示。已知,试校核该梁的强度。,解 （1）作出梁的弯矩图（如图（b）。这时可能出现的危险截面应为B、C两截面，且有,（2）求形心位置。选参考轴z1，有,中性轴z距梁截面上、下边缘最选距离为y1=52mm和y2=88mm。截面对形心主轴z的惯性矩为,（3）校核B截面的强度。B截面上负弯矩、梁截面上的正应力分布规律如图（d）所示，中性轴以上为受拉区，中性轴以下
11、为受压区。,B截面上的最大压应力,B截面上的最大拉应力,因此，该梁不满足抗拉强度条件。,（4）校核C截面强度。C截面上为正弯矩，梁截面上的正应力分布规律如图（e）所示，中性轴以上为受压区，中性轴以下为受拉区。,C截面上的最大拉应力为,3.2 梁的剪应力强度条件,对于横力弯曲的等直梁，在剪力最大横截面上的中性轴处，通常产生最大剪应力，而正应力为零，此时的应力状态为纯剪切应力状态。,需满足的剪应力强度条件为：,3.3 梁的正应力强度条件和剪应力强度条件的主次关系,两个强度条件中正应力强度条件是主要的，需要满足正应力强度条件，一般情况下，不校核剪应力强度条件，也会满足。,在截面设计中，通常是先按正应
12、力强度条件选择合适的截面形状和尺寸，再按剪应力强度条件进行强度校核。,例题 简支梁在距支座0.2m处作用有P=200kN的集中力（如图（a），若钢材的许用正应力s=160MPa，许用剪应力t=100MPa。试选择工字形型钢号码。,解 （1）作梁的弯矩图与剪力图，如图（b）、（c）。,(2) 由正应力强度条件选择型钢号码,选工字形钢20b，,（3）剪应力强度校核,不满足剪应力强度条件。,（4）根据剪应力强度条件重选型钢号码，采用试算法,仍不满足剪应力强度要求。,（a）选22b：,（b）选25b：,故选25b可以满足要求。,5.4 梁的合理截面及变截面梁,4.1 梁的合理截面形状,选取原因：,2.
13、 截面面积愈小，自重也小，引起的附加自重应力也小，还有利于安装和现场施工。,1. 在选择材料相同及外力不变的条件下，由正应力强度条件可知，若截面面积不变，抗弯截面模量较大者梁的承载能力高。,合理截面：,一般地把梁的抗弯截面模量W与其横截面面积A之比作为选定合理截面形状的一个指标。在A不变的条件下，W愈大愈好。即WZ/A越大越合理。如图：,平放时：,竖放时：,因为hb ，所以竖放比平放有较高的抗弯能力，更为合理。,常见截面的WZ/A 值,因此：工程上常采用工字形、圆环形、箱形等截面形式。,2. 若梁的截面设计得过高过窄，则可能使梁在不大的外力作用下，出现侧向翘曲而失稳破坏 。,如图：,1. 分析
14、梁的截面的合理形式时，还应考虑刚度、稳定性以及施工、制造、安装等方面的要求。,仍需注意：,4.2 变截面梁,1.变截面梁：在弯矩较大的梁段采用较大的截面，在弯矩较小的梁段采用较小的截面，就得到截面尺寸沿梁轴线变化的变截面梁。,2.等强度梁：梁的每一个截面上都能达到相等的最大正应力，且等于材料的许用正应力，就得到等强度梁。,特点：变截面梁可优化截面、节省材料。,5.5 非对称截面梁平面弯曲的条件及开口薄壁截面梁的弯曲中心,5.1 非对称截面梁平面弯曲的条件,外力偶矩Mz是作用在与梁的形心主惯性平面（如图中xOy平面）相平行的平面内，则梁的横截面将仍保持为平面，且绕形心主惯性轴z转动，z轴为中性轴
15、。,条件：,横截面上的正应力：,非对称截面梁（开口薄壁截面梁）上的剪应力：,5.2 开口薄壁截面梁的弯曲中心,在实际工程中，薄壁截面梁的横截面上，只有一个对称轴（形心主轴），而另一个形心主轴与对称轴相垂直，但不是对称轴。,当外力是作用在包含此非对称轴和梁轴线的纵向非对称平面内时，梁除了发生弯曲外，还会发生扭转（如图所示） ，此现象称为“由弯曲而伴扭转”。,槽形截面梁的弯扭现象与弯曲中心,上图所示槽形悬臂梁任一横截面上的剪应力分布如图：,剪应力合成和弯曲中心,当h很大时 ：,K点处的总剪力 ：,点K到腹板形心C点的距离为：,在槽形截面形心上，沿非对称轴方向方向受有集中荷载P时，在梁任一截面上的剪
16、应力的合力Qr，已不再通过形心O，而通过另一点K，梁除了发生弯曲外，还要发生扭转。通常称点K为截面的弯曲中心。,由此可知：,点K就是当梁分别在两个主惯性平面内作平面弯曲时，截面上剪应力所合成的两个剪力Qry和Qrz的作用线的交点，故弯曲中心也称为剪切中心。,弯曲中心K位置的确定,事实证明：,弯曲中心轴：任一等截面的薄壁截面直梁，其各横截面的弯曲中心K将形成一条与梁轴线平行的直线，称之为弯曲中心轴。仅当作用于梁上的横向荷载均通过弯曲中心轴时，才能使梁只发生弯曲而不发生扭转 。,注意：对开口薄壁截面梁，必须注意使荷载作用在其弯曲中心轴上，以免梁因扭转变形而产生破坏。,故：薄壁截面梁横截面上的剪应力，其合力Qr的作用线必须通过弯曲中心。,