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1、第八章 散射,8.1 散射现象的一般描述 8.2 分波法 8.3 玻恩近似,微观粒子的散射也可分为弹性散射和非弹性散射两种： 弹性散射：碰撞前后粒子的性质和内部能级都不变，仅仅发生整体的动量和能量交换。 非弹性散射：碰撞前后粒子的性质没变，但内部能级发生了跃迁。,而当粒子被力场散射时，粒子的能量组成连续谱。 在量子学中，将碰撞现象称为散射现象。,在质心坐标系中，弹性散射过程相当于质量为m 的粒子从远方入射，受势场 V(r )的作用而改变其运动方向。,考虑一束粒子流沿着z轴方向向粒子A射来，A为散射中心。MA远远大于入射粒子的质量，碰撞后粒子A的运动可忽略。,散射角：入射粒子受A的散射作用而偏离
2、原来的运动方向与入射方向成夹角。,单位时间内散射到面积元dS上的粒子数dn应与dS成正比，与dS到A点的距离的平方成反比。,dn还应与入射粒子流强度N成正比。 粒子流强度应为垂直于入射粒子流前进的方向取一单位面积S0，单位时间内穿过S0的粒子数就是入射粒子流强度N,q(，)的量纲为,q(，)具有面积的量纲，因此称为微分散射截面。 如果在垂直于粒子流的入射方向取面积q(，)d，则单位时间内穿过该面积的粒子数等于dn, 对所有方向积分,总的散射截面,散射理论的主要内容是建立微分散射截面q(,)与总截面Q的理论方法，从理论和实验的比较中研究散射作用势V(r )的性质。,作为散射过程的量子力学描述，设
3、入射粒子流为平面波,表明每单位体积只入射一个粒子。入射波粒子的几率密度为,取散射中心为坐标原点，用U（r）表示入射粒子与散射中心之间的相互作用能，则体系的薛定谔方程,一般观察被散射的粒子都是远离散射中心的, 所以只讨论r时的就足够了。 当r，U(r ) 0. 因此，波函数应由两部分构成：一部分是入射粒子的平面波; 另一部分是描写散射粒子的球面散射波(远离散射中心处，散射波应取外向球面波的形式)。,该球面散射波是由散射中心向外传播的.,我们只考虑弹性散射, 所以散射波的能量守恒. 即波矢k 数值不变。由于f(, )只与角度有关，与r无关。取入射波的归一化常数A=1，则,f(, )称为散射振幅，是
4、与角度相关的函数。,散射的几率流密度为,表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒子数, 故单位时间穿过面积dS的粒子数是,因为N，可知微分散射截面为,例题： 粒子束被半径为a的刚体球散射，试求经典散射截面.,解： 总散射截面显然等于刚体的几何截面a2,问题是找出微分散射截面。,常数表示散射结果是各项均匀的,8.2 分波法,本节将介绍粒子受到中心力场的弹性散射时，从解方程求出散射截面的一种方法。在中心力场中，势能U（r )只与粒子到散射中心的距离r有关，与r的方向无关。方程为,该展式中的每一项称为一个分波，Rl(r )Pl(cos)是第l个分波。每一个分波都是方程的解。通常称l=0,1,2,的分波分
5、别为s, p, d,分波。径向波函数满足方程；,设,因为f只是的函数。的渐近式也只与有关,将平面波eikz按球面波展开公式,对于散射后的波，我们来求径向方程的渐近解：r, V(r ) 0, 方程为,渐近解为,散射后的波函数,散射波函数,等式两边的eikr/r应该相等,这就是散射振幅公式,微分散射截面为,总散射截面为,利用,Ql 称为第l个分波的散射截面。,0时，cos =1, Pl(1)=1, f(0)的虚部为,而总的散射截面为,该公式称为光学定理,用分波法求散射截面的问题归结为计算相移 . 如果Q中的级数收敛的很快, 我们只须计算前面几个分波的相移就可以得到足够精确的结果.,反之, 如果该级
6、数收敛得很慢, 要得到较好的结果需要算出许多个分波的相移. 计算是很复杂的.,例题1：如果只需考虑S波（l=0）及P波（l=1）的散射，试写出微分散射截面q（）和散射角的关系。并且020，5 ，具体计算散射到 0，2， 三个方向的粒子数相对比列。,解：如略去l2以上各分波的散射，根据,对020，15 ，计算粒子数的相对比列,S波散射的角是各项同向的，虽然P波相移不足0.1弧度，但对角分布的影响却很大。,近似求解: 对产生散射的势场V(r )的作用范围是以散射中心为球心，以a为半径的球内，当ra时，V(r ）可略去不计。散射只在ra的范围内发生。 球面贝塞尔函数Jl(kr)的第一极大值位置在,势
7、场作用范围ra内 Jl(kr)很小, 则第l分波受到势场的影响很小. 则散射所产生的相移l很小。相移l只要从l=0算到lka就足够了。,特别是当ka1时，只须计算0就能很准确地计算散射截面。 由此可见，分波法适用于低能散射的情况下。,应用准经典近似进行估算：当动量 的粒子的角动量L大于 ， 粒子轨道与散射中心的距离大于a, 即轨道在势场作用球之外，势场对粒子不产生散射。,因为Ll ,所以受势场散射的条件是,方形势阱与势垒产生的散射 低能粒子受球对称方形势阱的散射，入射粒子能量很小，它的德布罗意波长比势场作用范围大很多。质子和中子的低能散射可以近似地用这种方法处理。,对低能散射，ka1,在r=0
8、处有限，所以00，、,得到相移,总散射截面,在粒子能量很低，k0, x 0, arctgxx,如果散射场不是势阱而是方形势垒, U0, 将k0换成i k0，k0时，总散射截面,当U0时， k0,经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的硬球的最大截面面积a2, 量子力学中得到的截面是经典的4倍。,低能散射,设散射作用势V(r )是短程的，在作用球以外，V=0，考虑低能（ka1）散射. 由于相移l大致和（ka）2l+1成正比，只考虑S（l=0）分波，u(r）满足的径向方程为,在作用球ra以外，V=0，如再令 k0(低能极限),ra, 方程变为：u”=0, 方程的解为：,c, a0为某种常数， a0
9、称为散射长度。,另一方面，在ra以外，,当k0， coskr1, sinkr kr,两式比较得,只保留l=0的一项，得到散射振幅,因为a0为有限值，当k0， k a0 就可以忽略, ctg0 1/0,例题: 对球形势阱 求低能散射S 波的散射长度、相移、散射振幅和散射截面。,解：令,在ra的球内，径向方程为,令k0，解为,在球外，ra, k0时,在r=a处，u和u连续，所以uu连续。,则散射长度为,将a0代入低能散射的结果，其他量便可得到。,讨论： （1）如果,则a0/a, 出现低能共振散射，Q,（2）如果势阱浅而窄，即k0a1, 则,则散射长度为,（3）若势阱宽而深，k0a1, 由于是非共振
10、散射，k0a并不大，这时a0=a, Q=4a2, 散射效果相当于刚体球（但粒子可以进入球内）。,例题：对于V（r)=/r4(0), 求低能散射的波长、 相移、散射振幅和散射界面。,解：令 则径向方程为,边界条件：r0时，u0, 令,径向方程变为,满足上面边界条件的解为,当r时，1/x0, 则,与低能散射的径向函数比较,得到散射长度,相移,散射振幅,散射界面,8.3 玻恩近似,经验表明，在入射粒子的动能较大时, 分波法需要计算很多分波，应用起来很不方便。如果入射粒子的动能比粒子与散射中心相互作用的势能大得多，势能U(r )可看作微扰。以此来计算散射截面。,体系的哈密顿量写为,取箱归一化的动量本征
11、函数L-3/2eikr作为H0的本征函数，这种归一化描写在L3内有一个粒子。,因为自由粒子的波函数为：,波函数满足边界条件，在两个相对的箱壁上应取相同的值,箱内动量的本征值为：,得到,箱中粒子动量的本征值为：,每一组nx, ny和nz都对应一个态， 而在动量在,区间内的状态的数目为：,用极坐标来表示，动量大小和方向在,状态数为,动量大小相同，但方向不同。以(m)dm表示能量密度，状态数变为,高能粒子受到互作用势场的微扰后，使粒子从动量为k的初态跃迁到k 的末态。根据能量守恒，有,入射粒子流强度为N0=L3，单位时间内散射到立体角d内的粒子数为,另一方面，动量大小为k、方向在立体角内的末态的态密
12、度是,代入到单位时间内的跃迁几率公式中,得到单位时间内散射到立体角内的粒子数。,绝对值内保留号是因为用其他方法算出的散射振幅f 有负号。,单位时间内散射到立体角内的粒子数,归一化的箱中粒子的波函数,引进矢量Kk-k, 它的大小为,是散射角，K是散射引起动量的变化,对球对称性的方势垒或势阱,由波函数的边界条件得到方程,当粒子能量很高时，EU0，,上面的公式,右边的余切相位为,玻恩近似有效的条件是,是粒子的经典速度。由此可见，玻恩近似适用于粒子的高能散射，分波法则是用于粒子的低能散射。,对于低能散射，ka1, EU0,举例： 计算一个高速带电粒子被一中性原子散射的散射截面。原子核所产生的电场被原子
13、内部的电子所屏蔽，其库仑场可表示为,代入玻恩近似导出的微分散射截面,这就是卢瑟福散射公式。说明,是经典力学方法可以适用的条件。该式要求散射角较大，散射在原子核附近发生，即入射粒子深入到原子内部。 若核外电子不起屏蔽作用。当散射角很小，该条件不能被满足，卢瑟福公式不能成立，此时不能进行近似。,例题：已知 求微分散射界面,解：由玻恩近似得到的微分散射界面,利用积分公式,得到,总散射界面,利用积分公式,几种特例讨论：,（1），V(r ) /r, 为纯库仑势,这就是著名的卢瑟福散射公式,总散射截面为,发散主要来自小角度。,（2）高速粒子被原子散射，原子半径，V(r )代表屏“蔽库仑势”。这时k1对于不
14、太小的散射角，微分散射截面与无关，,对于0，q()有限值，Q总也是有限的。,（3）低能散射， k1，如作用常数足够小，玻恩近似仍可成立， k22可忽略，微分散射截面与无关。,散射是各向同性的，相当于分波法的S波散射。,例题 使用量纲方法结合量子跃迁的概念找出微分散射截面q()的公式结构。,解：从量子跃迁的观点看散射，首先可以确定q()和微扰矩阵元V(k, k0)的绝对值平方成比例，其他有关参数只能是h, 和 k. q() 当然和L3没有关系， 各量的量纲关系如下：,从量纲推出散射截面,8.4 质心坐标系与实验室坐标系,在前几节中，微分散射截面都是在质心坐标系中进行的，是因为质心坐标系中处理问题
15、比较简单，两粒子的碰撞问题可归结为一个粒子在力场中的散射问题。,而实际测量都是在实验室坐标系中，需要将质心坐标系中的角度变换到实验室坐标系0中，,设质量为1、速度为1的粒子沿z 轴撞击质量为2的粒子（撞击前静止于实验室坐标系），则两粒子的质心速度为,在质心坐标系中粒子1的速度为,粒子 2的速度为,设碰撞后两粒子由质量中心向两边以相反方向运动, 每个粒子运动的速度大小与碰撞前相同(由能量守恒和动量守恒).,碰撞后粒子 1的速度为u1, 与z轴夹角，大小为,在实验室坐标系中，设碰撞后速度u1与z轴成夹角0,上式两边相除，,这就是两坐标中散射角之间的关系。,在两个坐标系中收到的粒子数应相同,对于微分散射截面q(),两边微分，得,代入微分散射截面的公式,得到两个坐标系的微分散射截面的关系。 但在两个坐标系中，总的散射截面总是相等的。,当 21，质心可认为是在2上，这是两坐标系重合。,谢谢同学们！ 祝你们考试成功！,