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1、第八章 线性离散系统的理论基础,本章主要与学习重点 第一节 基本概念 第二节 信号的采样采样定理 第三节 Z变换 第四节 线性常系数差分方程 第五节 脉冲传递函数 第六节 采样控制系统的时域分析 第七节 采样控制系统的频域分析 小结,本章主要内容 本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后，学习了采样过程及采样定理、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函概念及求取方法等。,本章重点 学习本章，需要掌握离散系统的相关基本概念，特别是采样过程和采样定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程和脉冲传递函数等概念。在此基础上了解利用脉冲传
2、递函数求解离散系统的暂态响应，离散系统稳定性和稳态性能计算等内容。,第一节 基本概念,采样控制系统 数字控制系统 离散控制系统的特点 采 样 信 号,自动控制系统按信号形式划分可分为以下三种类型 连续控制系统，见图（a） 采样控制系统，见图（b） 数字控制系统，见图（c）,采样系统的特点 在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制； 通常采样周期远小于被控对象的时间常数； 采样开关合上的时间远小于断开的时间； 采样周期通常是相同的。,第二节 信号的采样采样定理 离散时间函数的数学表达式 先看一下原理示意图：,采 样 过 程,采样函数的频谱分析,为了使信号得到很好的复现，采样频
3、率应大于等于原始信号最大频率的二倍，即,香农（Shannon）采样定理,把采样信号恢复为原来的连续信号称为信号的复现。实用的办法是加入保持器。常用的为零阶保持器。,信号的复现,零阶保持器的传递函数为：,零阶保持器的幅频与相频特性如下图所示：,第三节 Z 变 换,Z 变 换 的 定 义 Z 变 换 的 方 法 Z 变 换 的 性 质 Z 反 变 换,一. Z变换的定义,对其进行拉氏变换：,此式称为采样函数 的Z变换。,Z变换的方法 级数求和法 部分分式法,级数求和法 例8-1 求1*（t）的Z变换 。,例8-2 求 的F(Z)。,部分分式法 例8-3 求解 的Z变换 。,例8-4 求,三. Z
4、变 换 的 性 质 线性性质 延迟定理 超前定理 复位移定理 初值定理 终值定理 卷积和定理,线性性质,延迟定理,设t0，f(t)=0，令Zf(t)=F(z)，则延迟定理为,超前定理,令 Zf(t)=F(z)，则,复位移定理,设 Zf(t)=F(z)，则,初值定理,设 Zf(t)=F(z)，如果Z时F（z）的极限存在，则函数的初值为,终值定理,设 Zf(t)=F(z)，则函数的终值为,卷积和定理,若 ， 其中，k=0，1，2，且当k=-1，-2，-3，时， xc(kT)=g(kT)=xr(kT)=0， 则 式中，,Z反变换 幂级数展开法 部分分式法 反演积分法（留数法）,第四节 线性常系数差分
5、方程,差分方程的定义 差分方程的解法,差分方程的定义 对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值 xc(k) 不仅与这一时刻的输入值 xr(k)有关，而且与过去时刻的输入值xr(k-1)， xr(k-2)有关，还与过去的输出值xc(k-1)， xc(k-2)有关。可以把这种关系描述如下： xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+ =b0xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+ 或表示为 xc(k)=Txr(k) 当系数均为常数时，上式为线性定常差分方程。,差分方程的解法 迭代法 Z变换法,迭代法 例 8-5：已知采样系统的差分方程是,初始条件：,解：令k=1，
6、有,令k=2，有,同理，求出,输入输出关系如下图所示。,Z变换法 例 8-6：求解,初始条件：xc(0T)=0, xc(1)=1,解：由超前定理，令,于是,代入原式得,整理后得,第五节 脉冲传递函数,脉冲传递函数的定义 脉冲传递函数的推导 开环系统脉冲传递函数 闭环系统脉冲传递函数,脉冲传递函数的定义,脉冲传递函数的推导 由单位脉冲响应推出 由拉氏变换求出 由差分方程求出,开环系统脉冲传递函数 串联各环节之间有采样器的情况,串联各环节之间无采样器的情况,结论： 中间具有采样器的环节，总的脉冲传函等于各脉冲环节传函之积，而串联环节中间没有采样器时，其总的传函等于各环节相乘积后再取Z变换。,闭环系
7、统脉冲传递函数 应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关，因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的。,例8-7,例8-8,例8-9,第六节 采样控制系统的时域分析,用Z变换法求系统的单位阶跃响应 采样系统的稳定性分析 采样控制系统的稳态误差,用Z变换法求系统的单位阶跃响应 例8-10 已知系统的动态结构图如下图所示，求系统的单位阶跃响应。,解：,例8-11 在上例中加入保持器后再求输出量。,解：,由此结果看出，由于增加了保持器，使得系统输出量的超调量增加了。,采样系统的稳定性分析 Z平面上系统稳定的条件 闭环系统的稳定稳定条件是脉冲传函 的全部极点位于Z平面上以原点为圆心的单
8、 位圆内。否则将是不稳定的。,把S平面映射到Z平面上,闭环传递函数极点的位置与暂态特性的关系,采样控制系统的稳态误差 具有单位反馈的采样系统如下图所示：,采样系统的稳态误差和连续系统一样，都和输入信号的类型有关，也和系统本身的特性有关。在分析时，利用Z变换的终值定理求出。,第七节 采样控制系统的频域分析,双线性变换 Bode图,双线性变换 为了利用连续系统在S平面上的一些结论，我们把Z平面通过变映射到W平面上，且令稳定边界在W平面的虚轴上。这种变换被称为W变换。,S平面与W平面频率间的关系 ：,Bode图 典型环节的Bode图如下图所示,小 结： 离散时间系统与连续时间系统在数学分析工具、稳定性、动态特性、静态特性、校正与综合等方面都具有一定的联系和区别，许多结论都具有相类同的形式，在学习时要注意对照和比较，特别要注意它们不同的地方。 处理离散系统的基本数学工具是Z变换。要掌握Z变换的定义及主要性质，要会使用Z变换表。,离散系统的脉冲传递函数与连续系统中的传递函数一样重要。它是研究离散系统最有力的手段之一，要能熟练地求出典型离散系统的闭环脉冲传递函数。对一些常见的离散系统框图应能推导出输出Z变换的表达式。 要掌握 s平面与z平面的对应关系，掌握离散系统的稳定判据及采样周期等参数对稳定性的影响。能对离散系统的动态特性作一般分析，能够根据系统结构特点分析其静态误差特性。,