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1、第八节 三次样条插值,一、问题的提出,分段低次插值虽然具有计算简单、稳定性好、收敛性有保证且容易在计算机上实现等特点，但它只能保证各小曲线在连接点上的连续性，却不能保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术上的要求。下面将要介绍的样条插值方法构造的样条函数可以保留分段低次插值得优点，又提高了插值函数的光滑性。如今在许多领域得到了广泛的应用，形成了极其重要的分支。,样条函数,所谓样条函数，从数学角度理解，就是按一定光滑性要求“装配”起来的分段多项式。具体有：称具有分划 的分段 次多项式 为 次样条函数。如果它在每个内节点 上具有直到 阶连续导数。点 则称作样条函数 的节点。,特点：光滑性即外
2、形美观，间断性则使它能转折自如，即灵活。,二、三次样条插值的定义,实质：分段插值。,特点：插值函数具有二阶连续导数。,三次样条插值的实质与特点,三、边界条件问题的提出与类型,如何根据条件确定一个三次样条插值函数。,边界条件的类型,边界条件：在确定三次样条插值函数时，所缺少的两个条件由插值区间a, b的边界点a、b 处给出，这个条件通常被称为边界条件。,解决的办法：引入边界条件。,边界条件的类型,(1) 已知一阶导数值： (2) 已知二阶导数值： (3)被逼近函数是周 期函数：,四、三次样条插值函数的求法,定理3（三次样条函数的存在唯一性）,对于给定的函数表，并满足第一或第二或第三边界条件的三次
3、样条插值函数S(x)是唯一存在的。,求三次样条插值函数的基本思想：先利用一阶（或二阶）导数 在内节点 上的连续性以及边界条件，列出确定二阶（一阶）导数(例如： 的线性方程组，并由此解出 ，然后用 来表达 .,问题9 求作具有分划 的三次样条 ，使得满足,方法：样条函数的构造用待定系数法。,问题：关键在于参数导数值的选择。,其中 ，而,三次样条插值函数为：,不论如何确定参数 ，这样构造出的三次样条插值函数在每个节点 上均连续且有连续的一阶导数，现在的问题是如何确定参数 使其二阶导数也连续。对 求两次导数，并计算在子区间 的端点上的导数值有,为了保证二阶导数的连续性，要求成立,即要求（36）与（3
4、7）相容，即把（37）式中的i+1 改写为 i , i 改写为 i-1 ，因而有,把（37）和（36）式代入（38），有,令,则有,并注意到,差商,因而有三对角方程组（基本方程组）,其系数行列式是一个三对角行列式，在后面将用追赶方法求其解，于是得到分段插值多项式，即三次样条函数。,基本步骤：,构造已知条件（由三次样条函数的特征）； 积分（反推）； 确定系数： ； 确定： 求出： 利用边界条件，例如：,五、应用：求三次样条插值函数,解：第一步：计算节点间隔 差商 ，确定,即有,于是，有,由第（1）边界条件,第二步：求满足的线性方程组 ；,第三步：求出 ;,第四步：写出三次样条插值函数S(x).,
5、注释：把二阶导数 作为参数。,补： 数值微分多项式插值的应用,主要内容：利用多项式插值，讨论函数f(x)的导数的近似值求法。,一、利用插值多项式求导数的原理与常用公式,1、定义1：若函数f(x)在节点 处的函数值已知， 作f(x)的n次插值多项式 ，并用 近似代替f(x)，即,由于 是多项式，容易求其导数，故对应于f(x)的每一个插值多项式 ，建立一个数值微分公式,这样建立起来的数值微分公式，称为插值型微分公式。,2、带有余项的数值微分公式：,其中 之间，上式第一项是 的近似值，第二项事相应的截断误差。,3、带有余项的两点数值微分公式：,（n=1）,类似可以得到 n=2 的带余项的三点公式,
6、n=2 的带余项的二阶三点公式。,二、三次样条插值函数求导数的原理与常用公式,例8： 利用函数 在节点 上的函数值和边界条件 构造三次样条插值函数S(x)，并用它来计算 和 在下列点 的处的近似值。,插值法是一个古老而实用的数值方法。它不仅是数值微分、数值积分、函数逼近以及微分方程数值解等数值分析的基础，而且在许多实际问题中，也有直接的应用。这里只简要介绍了有关插值法的一些基本概念、多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法，例如拉格朗日插值公式、牛顿基本插值公式和仅适用于等距节点下的牛顿向前(后)插值公式，以及应用最广且有二阶连续导数的三次样条插值。作为一种直接应用，也介绍了利用插值法求导数的基本原理和常用公式。,小 结,实际上，插值法的内容，包括插值函数类的选择，公式的构造与应用，误差的估计，以及收敛性、稳定性的讨论等，都是十分丰富的。,作业：p56 34,