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1、第五章 系统的校正和控制器的设计,一般控制系统的结构可由下图表示:,实际中, 一旦执行机构和被控对象选定后, 其特性也确定. r(t)是 给定的输入信号, y(t)是被控对象的输出信号, 也叫被控量.当y(t) 不满足人们所期望的要求时, 就将输出y(t)反馈到输入端, 构成如 下的闭环系统:,由图可知, 给定的输入信号r(t)与实际输出y(t)的测量值进行 比较得偏差信号e(t),控制器按e(t)的大小和方向以一定的规律给 出控制信号推动执行机构动作使输出y(t)满足人们所期望的要求. 控制器的本质是对其输入信号e(t)按某种运算规律进行运算,这种,运算规律也叫控制规律. 本章的内容仅涉及如
2、何设计控制规律以,满足人们对控制系统的性能要求. 5.1 状态反馈与极点配置 用古典控制理论只能对输出进行反馈, 而输出所包含的系统 的信息量较少, 当被控对象本身的特性较差或人们对控制系统的 要求较高时, 输出反馈就现得力不从心. 而在现代控制理论中往 往采用状态反馈来任意配置极点从而达到目的. 假设单输入单输出系统开环传递函数为:,且假定无零极点对消, 则可证明开环系统既状态完全能控又状 态完全能观. 还可证明能使闭环系统的极点任意配置的充要条件 是受控系统状态完全能控.,若受控系统G0(s)用动态方程描述, 则:,其结构图如下:,现对上图系统通过,阵实施状态反馈, 可得下图:,由上面闭环
3、系统的结构图, 可得:,代入原动态方程得:,其中,叫状态反馈阵,分别为状态,的反,馈系数, 下面讨论如何确定,使闭环系统的极点配置在s平面的,期望位置上. 设受控系统状态完全能控, 则一定能找到一非奇异线 性变换阵Q, 使受控系统的动态方程变换为能控标准型, 即:,其中:,而:,若上面变换为能控标准型的动态方程经状态反馈阵,进行状态反,馈, 则闭环系统的动态方程为:,由于:,所以闭环系统的特征多项式为:,若闭环系统的极点配置在s平面上的期望位置为:,则期望的特征多项式应为:,令上两式相应s前的系数分别相等, 则闭环系统的极点就在所期望 的位置上.,从而由:,(1) 得到状态反馈阵,而能控标准型
4、变换前的, 上面推导过程可得求状,态反馈阵的步骤应为: (1)判受控系统状态是否能控. (2)若受控系统状态能控, 将其动态方程用Q阵变换为能控标 准型.,(3)由期望的闭环极点,求出,(4)由式(1)求出在能控标准型下的状态反馈阵,(5)令,得变换系统的状态反馈阵,当受控系统G0(s)无零极点对消时,可直接写出受控系统的能控,标准型动态方程, 则可由上述步骤中的第(3) (4)步求出,当受控系统直接由非能控标准型动态方程给出时, 也可直接,由,求得,阵的各元素值,只是式(1)变为由n个分别为关于,的代数方程组成的代,数方程组, 求解稍为麻烦些.,例1: 受控系统无零极点对消的传递函数为:,求
5、状态反馈阵, 使闭环系统的极点为-2,-1+j和-1-j,解: 由于受控系统G0(s)无零极点对消, 可直接写出其能控 标准型动态方程.由,得:,设反馈阵,则闭环特征方程为:,而期望的闭环特征方程为:,由式(1)和式(2)得:,即:,例2: 受控系统状态方程为:,可否用状态反馈任意配置闭环极点? 如可以, 求状态反馈,阵,使闭环极点位于,解: 因为,所以受控系统状态能控, 可用状态反馈任意配置闭环极点,由:,得:,即:,以上均以单输入单输出受控系统为例讨论了利用状态反馈任 意配置闭环极点的问题, 所的结论, 对多输入多输出受控系统也 是适用的. 进一步的讨论, 请参见书上P.239P.250的
6、有关内容. 课外习题: P.317第5.1题, 第5.2题, 第5.5题, 第5.9题(1) (2),5.7 状态估计与状态观测器,采用状态反馈任意配置闭环极点比用输出反馈更容易获得性 能指标高的控制系统. 为实现状态反馈, 就需得到X(t), 但在工程 实际中, 有的状态变量并无实际的物理含意, 有的既使有实际物 理含意, 受现有技术的限制, 也不一定能量测到. 这就引出了状 态估计与状态观测器的问题. 所谓状态估计是指利用系统的已知信息, 如已知或能量测得 到的系统输入及能量测得到的系统输出, 通过一个模型重构系统 的状态变量. 这种重构状态的方法叫状态估计. 重构状态的装置在确定性系统中
7、称为状态观测器. 设实际系 统结构图如下所示:,最简单的观测器是由上面给出的实际系统的动态方程用计算机模,拟, 如下示意图:,图中下半部分即为用计算机模拟实际系统, 并得到实际系统,状态变量X(t)的估计值,. 因为是估计值, 所以与X(t)一般情况,下总存在误差, 误差用下式表示:,如果将上图改成下图:,图中, 实际系统的输出Y与模型的估计输出,之差为, 即:,由于模型对实际系统状态变量的估计值,通过,反映到, 即:, 而实际系统的状态变量X通过,反映到可量测的Y,即:,因此式(2)也反映了模型对实际系统状态变量的估计误差,将式(2)通过线性反馈阵G反馈到模型的,端, 对模型进行校正.,由上
8、图及式(1), 可得:,式(3)的解为:,如果,的特征值可任意配置, 则状态估计误差,可以任意快的速,度趋向于零, 即模型对实际系统状态变量的估计值可以任意快的 速度趋向于实际系统的状态变量值. 再由上图及式(2)得:,由式(5)可得下面结构图:,这一观测器可对实际系统的所有状态进行观测, 叫全维观测器, 式(5)叫全维观测器方程. 如将观测器观测到的实际系统状态变量 估计值通过状态反馈阵反馈到实际系统的输入端, 只要实际系统 状态能控, 则构成的闭环系统的极点就可任配置, 使实际系统获 得较高的控制质量.,图中,带观测器的闭环系统的结构图如下所示:,当然, 对于带观测器的闭环系统, 还可深入
9、地讨论许多问题, 有些问题请参阅第五章第5.8节. 现仅对观测器的设计举几例.,例1. 设系统的动态方程为:,试设计一状态观测器, 使其具有-10的重特征值,解: (1) 判系统是否能观,系统能观,(2) 设观测器的反馈阵G为:,观测器方程为:,例2: 有一可观系统的动态方程为:,试设计一极点为-3,-4,-5的观测器.,解: 设观测器的反馈阵G为:,因为系统能观, 为方便求特征方程, 先将原动态方程变换为,能观标准型.,令:,则有:,经上述变换后的观测器方程为:,其特征多项式为:,观测器期望的特征多项式为:,由:,得:,变换前的观测器方程为:,由上两例可见, 受控系统是n维的, 观测器也是n
10、维的, 这叫,全维观测器. 当维数较高时如例2, 求观测器方程较为困难. 在工 程实际中, 希望观测器的结构越简单越好, 也就是说, 希望在达 到同样要求的前提下, 使观测器的维数要低于受控系统的维数. 实际中, 有的受控系统的有些状态变量例如有q个可由相应 的输出直接量测而得, 无需对其进行估计, 而只需估计(n- q)个 状态变量即可, 使得观测器的维数降为(n- q)维, 这就是下面讨论 的龙伯格观测器. 定理: 有n个状态变量及q个输出量的受控系统, 即:,若其状态能观, 且,行满秩, 可定义一种线性变化,其中,经线性变换后的动态方程为:, 而,是能使,存在的任意,矩阵,其中:,动态方
11、程可表为:,上式表明, X2中的q个状态变量可直接由Y中的q个输出量测得到, 只需对X1中的(n-q)个状态变量进行估计, 其观测器方程为:,观测器的结构图如下:,例3: 有一可观系统的动态方程为:,试设计一极点为-3,-4的龙伯格观测器.,解: (1) 系统能观, 且,行满秩, 秩q=1, 可设计二维龙伯格,观测器.,(2) 确定Q阵, 选C1阵为:,则:,(3) 计算, 并分块.,写出变换后的动态方程.,(5) 确定G1阵.,由观测器方程:,得:,(6) 将所有算得的参数代入观测器方程:,利用上式即可画状态变量图. 课外习题: P.327第5.40题(1) (2) (3), 第5.41题(
12、1) (2) (3),5.2 输出反馈系统的校正方式与常用校正装置的特性,输出反馈系统的校正方式基本分为两类, 一是串联校正,如下,图所示:,校正装置,与系统的广义对象,串接在前向通道的校,正方式叫串联校正.,二是并联校正, 如下图所示:,校正装置,与系统的某个或某几个环节反向并接, 构成局,部反馈, 称为并联校正.,在介绍校正的方法前, 先介绍常用校正装置的一些特性.,5.2.1 无源校正网络,一般用阻容四端网络构成无源校正网络. 1. 领先网络(相位超前网络) 其电路如下图所示:,其传递函数为:,其零极点在s平面上的位置及对数幅频和相频特性曲线见下图:,超前网络的特点: (1) 零点在极点
13、的右边; (2) 网络的稳态增 益小于1,故对输入信号具有衰减作用; (3)从幅频曲线上看,有一段 直线的斜率为正20分贝十倍频程, 所以超前网络具有微分作用;,(4) 网络的最大超前相角,发生在,处, 且,显然,越大,也越大, 微分作用也越强, 但网络克服干扰信号,的能力越差,的值一般不大于15.,2. 滞后网络(相位滞后网络),滞后网络的电路图,零极点在s平面上的位置及对数幅频 和相频特性曲线见下图:,网络传递函数为:,滞后网络的特点: (1) 零点在极点的左边; (2) 网络的稳态,增益等于1,故对输入信号具有低通滤波作用; (3)从幅频曲线上看, 有一段直线的斜率为负20分贝十倍频程,
14、 所以滞后网络对高频信,号或噪声有较强的抑制作用; (4) 网络的最大滞后相角,发生在,处, 且,显然,越大,也越大, 即相角,滞后得越利害. 使用滞后网络对系统进行校正, 应力求避免使滞 后网络的最大滞后相角发生在校正后系统开环幅值穿越频率(即 截止频率)附近, 引起相角裕度的减小, 使系统动态性能变坏. 因,此在确定滞后网络的参数时, 一般要求,小于校正后系统,开环幅值穿越频率(即截止频率)的十分之一. 滞后网络在校正后,系统开环幅值穿越频率处的滞后相角约等于,3. 滞后领先网络(相位滞后超前网络),滞后领先网络的电路图,零极点在s平面上的位置及对数 幅频和相频特性曲线见下图:,网络传递函
15、数为:,式(3)中:,其它常用无源校正网络见书上P.255表5.1 5.2.2 有源调节器 无源校正网络有以下几个不足之处: (1) 稳态增益小于等于1; (2) 级间联接必须考虑负载效应; 当所需校正功能较为复杂时, 网络的计算和参数调整很不方 便. 由于上述不足, 实际中常用阻容电路和线性集成运放的组合 构成校正装置, 这种装置叫调节器. 例如工业上常用的PID调节 器. 现仅对有源调节器的基本原理作一简单介绍. 在下面的介绍中, 为讨论问题方便起见, 均认为运算放大器 是理想的, 即其开环增益无穷大, 输入阻抗无穷大, 输出阻抗等 于零.,1. 反向端输入的有源调节器,反向端输入有源调节
16、器的电路如下图:,图中:,是输入阻容网络的等效阻抗,是反馈阻容网络的等效,阻抗, 传递函数为:,用不同的阻容网络构成,就可得到不同的调节规律. 可见书上,P.256表5.2典型的有源调节器. 2. 同向端输入的有源调节器 同向端输入有源调节器的电路 如右图:,其传递函数为:,3. 用跟随器和阻容网络构成的有源调节器 其电路如下图:,其传递函数为:,5.3 输出反馈系统的根轨迹法校正 当用时域指标如最大百分比超调量调整时间或阻尼系数 自然振荡角频率等对闭环系统提出性能要求时, 常采用根轨迹法 对原系统进行校正. 这是因为不同的时域指标反映了闭环极点在 s平面上的不同位置.如对于典型的二阶系统(即不带零点), 其一,对共轭复数极点可表为:,一般, 由最大百分比超调量, 则二阶系统的极点应在s平面上的,先确定,值, 然后,由调整时间,确定,区域可用下图表示:,凡是极点在折线ABCD右则的二阶系统其最大百分比超调 量调整时间都小于规定的指标. 对于高阶系统, 其闭环极点 个数大于二个, 这时总以最靠近虚轴而附近又没有其它闭环零 极点的一对共轭复数极点作为主导极点作为设计的依据. 下面通过例子说明用根轨迹法校正系统的步骤.,