第一章误差.ppt

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1、数值分析 (54学时),主 讲： 董 亚 丽,理学院 数学系,教材：数值计算方法， 第2版， 丁丽娟 程杞元 编著 北京理工大学 出版社 参考书目： 1、数值分析原理，封建湖等 科学出版社 2、数值计算方法，吕同富等，清华大学出版社 3、数值计算方法，合肥工业大学出版社,1.1 误差的来源,数值计算方法是应用数学研究的一个重要分支(又称数值分析或计算方法)，,用数学方法解决实际问题，常按以下过程进行：,抽象、简化,数值计算,是研究科学与工程技术中数学问题的数值解及其理论的,或者说是“研究用于求得数学问题近似解的方法和过程”。,第一章误差,3,1.模型误差,实际问题的解与数学模型的解之差称为“模

2、型误差”。,在此过程中，引起误差的因素很多，主要有以下几种：,2.观测误差,数学问题中总包含一些参量，它们的值往往是由观测得到的, 而观测不可能绝对准确，,因此，在计算过程中，误差是不可避免的。,由此产生的误差称为“观测误差”。,4,5,3.截断误差,这种数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的误差称为截断误差。,如求一个收敛的无穷级数之和，,由于实际问题建立起来的数学模型,在很多情况下得到准确解是困难的,通常要用数值方法求它的近似解.,例如,常用有限过程逼近无限过程,由于截断误差是数值方法固有的, 故又称方法误差.,也就是截去该级数后面,总是用它,的部分和作为近似值，,的无穷多项。,用

3、能计算的问题代替不能计算的问题.,6,例如,近似值。,由交错级数判断的莱布尼兹（Leibniz）准则，,它的截断误差的绝对值不超过,当,很小时，,可以用,作为,7,4.舍入误差,在计算过程中往往要对数字进行舍入。,无穷小数和位数很多的数必须舍入成,这样产生的误差称为“舍入误差”。,本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结果的影响。,1.2 绝对误差、相对误差和有效数字,如受机器,字长的限制，,一定的位数。,8,1.2.1 绝对误差与相对误差,定义1 设 为准确值 的一个近似值，称,(1-1) 为近似值 的绝对误差，简称误差。,当 时 ,称 为弱近似值或亏近似值.,当 时 ,称 为强近似值或盈近似

4、值.,9,即估计出误差绝对值的一个上界,(1-2),显然误差限不是唯一的。,通常称 为近似值 的绝对误差限，简称误差限。,有了误差限及近似值，就可以得到准确值的范围,即准确值 x,必定在区间,内，,也常记作:,10,经过四舍五入得到的数，其误差必定不超过被保留的最后数位上的半个单位，,例如若取 的近似值为3.14，,若取 ,即最后数位上的半个单位为其误差限。,则,则,容易看出，,11,误差限的大小不能完全反映近似值的精确程度。,要刻画近似值的精确程度，不仅要看绝对误差的,定义2 设 为准确值 x 的近似值，,(1-3),记为,即,大小，还必须考虑所测量本身的大小，,由此引出,的相对误差，,称绝

5、对误差与,准确值之比为近似值,relative error,了相对误差的概念。,12,由于在计算过程中准确值x总是未知的，,可以证明当 很小时，,所以，取绝对误差与近似值之比为相对误差是合理的。,的高阶无穷小，可以忽略不计。,是,故一般取相对误差为,13,同样，相对误差也只能估计其上限。,则称 为 的相对误差限。,显然，误差限与近似值绝对值之比 为 的 一,使得,(1-4),如果存在正数 ，,个相对误差限。,例 取3.14作为,的四舍五入的近似值,试求其,相对误差限.,14,又如,由实验测得光速近似值为 公里/秒，,其误差限为0.1公里/秒，,于是,所以， 是 的一个相对误差限。,解:,相对误

6、差限,15,有效数字是近似值的一种表示法。,它既能表,在计算过程中，常常按四舍五入的原则取数,取前八位数得近似值,例如， ,取前四位数得,示近似值的大小，又能表示其精度程度。,x的前几位数 为其近似值。,1.2.2 有效数字,16,前面已经提到,通过四舍五入得到的数,其绝对误差均不超过末位数字的半个单位，,如果近似值 的误差限是,则称 准确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为有效数字。,定义： 若x的某一近似值,的绝对误差限是某一位,的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到,的第一位非零数字共有q位，则称近似值,有q,位有效数字。,17,例如， 的近似值1.4

7、14准确到小数点后第3位，它具有4位有效数字。,(1-5),一般地，如果近似值 的规格化形式为,1.4142136作为 的近似值精确到小数点后第7位，有8位有效数字。,其中m为整数， 为0到9之间的整数。,18,如果 (1-6) 则称近似值 有n位有效数字。,例如 表示近似值0.003400准确到小数点后第5位,有3位有效数字。,上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划误差限。,形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字数位n越大，则误差限越小。,19,例如若 是具有7位有效数字的近似值，,又若 是具有5位有效数字的近似值，,下面的定理给出了相对误差限与有效数字的关系。,则它的误差限为,则其

8、误差限为 。,20,若x的近似值,则 至少具有n位有效数字。,有n位有效数字，,则 为其相对,误差限。,反之，,若 的相对误差 满足,定理1.1,21,证明:,由式（1-6）,从而有,所以 是 的相对误差限。,若,由式（1-4）,具有 n 位有效数字, 则,若,22,由式(1-6)， 至少有n位有效数字。,由有效数字位数可以求出相对误,如 是 的具有3位有效数字的,差限。,近似值,定理1.1表明，,故其相对误差限为,23,例:,要使,的近似值的相对误差小于1%,应取,几位有效数字？,解:,的首位非零数是4,设近似数,有n位有效数字,只须取n使,即,取n=3,即取3位有效数字,近似值的相对误差,

9、小于1%.,即,24,1.3 数值计算中误差的传播,1.3.1 基本运算中的误差估计,本节中所讨论的基本运算是指四则运算与,由微分学，当自变量改变量（误差）很小时，,故利用微分运算公式可导出,函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可以,一些常用函数的计算。,误差运算公式。,近似函数的改变量，,25,设数值计算中求得的解与参量（原始数据）,参量的误差必定引起解的误差。,的近似值分别为,相应的解为,(1-8),有关，,记为,设,(1-7),26,(1-9),则当数据误差,较小时，解的绝对误差为,假定,在点,可微，,27,(1-10),其相对误差为,特别地，由式（19）及（110）可得和、差、积、商

10、之误差公式。,28,(1-12),(1-11),(1-13),29,式(1-11)式(1-13)表明，和、差之误差为误差之和、差; 积、商之相对误差为相对误差之和、差。,由以上各式还可得出,(1-14),(1-15),(1-16),30,因此，和、差的误差限不超过各数的误差限之和，积、商的相对误差限不超过各数的相对误差限之和。,例1：,解:,由式（110）得,设 ，求 的相对误差与 相对误差 之间的关系。,的相对误差是x 的相对误差的n倍。,的相对误差是x 的相对误差的一半。,所以,特别地，,31,例2： 假设运算中数据都精确到两位小数，,的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字？,解

11、,由式(1-11)和式(1-12 )得,因为式中数据都精确到两位小数，即其误差,故有,限均为,试求,32,故有,所以， 的绝对误差限为0.0293，相对误差限为0.0054，计算结果有两位有效数字。,33,1.3.2 算法的数值稳定性,计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。,计算积分值,由关系式,例如，,且,34,可设计以下两种算法。,算法,取,按公式,的近似值。,（1-17）,依次计算,p36,35,算法,按公式,分别取,的近似值。,取,（1-18）,依次计算,36,按算法、的计算结果见表1-1。,表1-1,p34,37,由表中结果可见，按算法得到,因

12、为对任意,而按算法计算，尽管,但递推计算得到的,均有,显然是错的，,这,误差限,取值精度不高，其,却有8位有效数字。,38,为什么会出现这样的现象？,下面的分析说明，这是舍入误差在计算过程传播所引起的后果。,从而有,（1-19）,设,有误差,假设计算过程中不产生新的,舍入误差,则由式（1-17）得,39,误差就扩大到5倍，,倍。,在上例中， 有8位有效数字，故,由（1-19）式得,即原始数据,的误差,经公式（1-17）计算一次,因而由算法计算出的,的误差应是,的,40,完全类似地，按算法从 计算 应有,从而有,到 。,而 ，这说明 已无一位有效数字。,41,上述事实说明，对于同一数学问题，使用

13、的算法不同，效果也大不相同。,称计算过程中舍入误差不增长的算法具有数值稳定性，否则就是数值不稳定的，,在上例中，算法具有数值稳定性，而算法则是数值不稳定的。,显然，只有选用数值稳定性好的算法，才能求得较准确的结果。,1.4 数值计算中应注意的问题,42,由于误差的影响，计算过程中可能出现一些坏现象，要尽量注意以下几个方面。,1.避免两个相近的数相减,由式(1-11)，两数之差 的相对误差为,当 与 很接近时， 的相对误差会很大，有效数字位数将严重丢失。,43,例如求,为了避免这种情形出现，常常改变计算,公式。当然也可以通过在计算过程中多保留几位有效数字来改善计算效果，但不如前者有效。,如若把,

14、过程中取8位有效数字，,只有一位有效数字。,的近似值时，,如果运算,则得,变换成以下公式计算,44,计算过程中仍保留8位有效数字，,又如,例3：利用四位数学用表求 的近似值。,【解】,由查表得,于是,结果仍有8位有效数字。,则得,45,且,故近似值 有一位有效数字。,若改用公式 计算，,得 ，,查表,于是,此时,故 至少有2位有效数字。,46,一般地，当x接近于零时，应作变换,当x充分大时，应作变换,等等。,47,2.避免大数“吃”小数的现象,计算机在进行运算时，首先要把参与运算的数对阶，即把两数都写成绝对值小于1而阶码相同的数。,必须改写成,这种情况有时是允许的，有时是不允许的。,大数“吃”

15、了小数。,如,如果计算机只能表示8位小数，则算出,48,例4 求二次方程 的根。,利用因式分解容易求出，此方程的两个根为,解,但若用求根公式，则得,若用8位小数的计算机运算，由于对阶，有,这样求得,结果显然是错的。,49,改变成,则有,此结果是准确的。,为避免这种情形出现，也可采用改变计算公式的方法。,如将式,50,3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值,由式(1-13),故当 时，舍入误差可能增大很多。,4.要简化计算，减少运算次数，提高效率,求一个问题的数值解往往有多种算法，不同的算法需要不同的计算量，而计算量的大小会影响误差的积累。,51,例如，若选用级数,的前n项部分和来计算,如果要

16、求误差小于,这样做不仅计算量大，而且舍入误差的积累将使有效数字丢失严重。,截断误差的绝对值不超过,的近似值,十万项求和。,即要取前,则,52,如果利用级数,来计算，,当 时有,取前5项之和作为近似值，产生的截断误差为,53,显然，第二种算法比第一种算法有效。,54,的值。若直接按式(1-20)计算，共需作,若按秦九韶算法计算,(1-21),(1-20),又如计算多项式,次乘法与n次加法。,55,即将式(1-20)改写成如下形式,(1-22),则只需作n次乘法和n次加法。,由以上例子可以看出选择合适的公式，简化计算十分重要。,5.选用数值稳定性好的算法,(1-21),1.避免两个相近的数相减,2.避免大数“吃”小数的现象,3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值,4.要简化计算，减少运算次数，提高效率,5.选用数值稳定性好的算法,56,