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1、1,数学建模与数学实验,后勤工程学院数学教研室,插 值,2,实验目的,实验内容,2、掌握用数学软件包求解插值问题。,1、了解插值的基本内容。,1一维插值,2二维插值,3实验作业,3,拉格朗日插值,分段线性插值,三次样条插值,一 维 插 值,一、插值的定义,二、插值的方法,三、用Matlab解插值问题,返回,4,返回,二维插值,一、二维插值定义,二、网格节点插值法,三、用Matlab解插值问题,最邻近插值,分片线性插值,双线性插值,网格节点数据的插值,散点数据的插值,5,一维插值的定义,6,返回,7,称为拉格朗日插值基函数。,已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,xn处的函数值为 y0,y1,
2、yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n.,解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下,其中Li(x) 为n次多项式：,拉格朗日(Lagrange)插值,8,拉格朗日(Lagrange)插值,特别地:,两点一次(线性)插值多项式:,三点二次(抛物)插值多项式:,9,拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象,采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.,例,返回,To Matlab lch(larg1),10,分段线性插值,计算量与n无关; n越大，误差越小.
3、,11,To MATLAB xch11，xch12，xch13，xch14,返回,例,用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.,1.在-6,6中平均选取5个点作插值(xch11),4.在-6,6中平均选取41个点作插值(xch14),2.在-6,6中平均选取11个点作插值(xch12),3.在-6,6中平均选取21个点作插值(xch13),12,比分段线性插值更光滑。,在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。,三次样条插值,13,三
4、次样条插值,g(x)为被插值函数。,14,例,用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych),返回,To MATLAB ych(larg1),15,用MATLAB作插值计算,一维插值函数：,yi=interp1(x，y，xi，method),nearest ：最邻近插值linear ： 线性插值； spline ： 三次样条插值； cubic ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。,注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。,16,例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试
5、估计每隔1/10小时的温度值。,To MATLAB (temp),hours=1:12; temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接输出数据将是很多的) plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作图 xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius),17,例 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。,To MATLAB(plane),返回,18,二维插值的定义,第一种（网格节点）：,1
6、9,已知 mn个节点,20,第二种（散乱节点）：,21,返回,22,注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。,最邻近插值,二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的 节点的函数值即为所求。,返回,23,将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：,分片线性插值,f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4,24,插值函数为：,第二片(上三角形区域)：(x, y)满足,插值函数为：,注意：(x, y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的；,分
7、两片的函数表达式如下：,第一片(下三角形区域)： (x, y)满足,返回,25,双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。 双线性插值函数的形式如下：,其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。,双线性插值,返回,26,要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。,z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method),用MATLAB作网格节点数据的插值,nearest 最邻近插值 linear 双线性插值 cubic 双三次插值 缺省时, 双线性插值,27,例：测得
8、平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。,输入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86; mesh(x,y,temps),1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图.,2以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.,28,再输入以下命令: xi=1:0.2:5; yi=1:0.2:3; zi=interp2(x,y,temps,xi,
9、yi,cubic); mesh(xi,yi,zi) 画出插值后的温度分布曲面图.,To MATLAB (wendu),29,通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较。,To MATLAB (moutain),返回,30,插值函数griddata格式为:,cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）,用MATLAB作散点数据的插值计算,要求cx取行向量，cy取为列向量。,nearest 最邻近插值 linear 双线性插值 cubic 双三次插值 v4- Matlab提供的插值方法 缺省时, 双线性插值,31,例 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。,32,To MATLAB hd1,返回,4.作出水深小于5的海域范围,即z=5的等高线.,33,实验作业,山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域1200=x=4000,1200=y=3600)，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。,返回,