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1、第四章 直梁的弯曲 4-1 平面弯曲概念 梁的类型,1、梁弯曲 常见弯曲变形构件,如房屋支承梁，工厂中起重机横梁及化工中的卧式容器等。,结构如图：,卧式化工容器：,弯曲梁受力特点在通过梁某一纵向平面 内，受到垂直于轴线的 外力或力偶作用。,受力如图：,变形特点任两个截面绕垂直于梁轴线轴 相对转动，梁轴线由直线变曲线。,平面弯曲所有外力或力偶作用在纵向对称 面内，梁轴线在对称面内弯曲成 平面曲线。 纵向对称面在纵向可将梁分成对称两半。,2、梁简化 对实际梁受力分析和强度计算，对梁进行简化，以轴线表示梁。 梁简化成三种力学模型：,（1）简支梁 如图：,一端固定简支，另一端可动铰支。,（2）外伸梁
2、如图：,梁一端或两端伸出支座外。,（3）悬臂梁 如图：,梁一端固定约束，另一端自由。,各支座处力与位移边界条件： 固定铰支 支座处 梁左、右，上、下 均不可移动，但可绕约束点转动。 解除约束 受力图,力的边界条件,位移边界条件,m = 0 Rx 0 Ry 0,x = 0 y = 0,可动铰支 支座点左、右 可移动，上、下 不可动。 解除约束 受力图,力的边界条件,位移边界条件,Ry 0 Rx = 0 m = 0,x 0 y = 0,固定端 约束限制 固定端既不能转动，也不可移动。 解除约束 受力图,力的边界条件,位移边界条件,Rx 0 Ry 0 m 0,x = 0 y = 0,各支座反力 可根
3、据平衡条件求出。,如果未知力数与所列出的独立方程数相同，则可求出未知力称为静定问题，属于静定梁； 反之为静不定，称为不静定梁或超静定问题。,集中力：作用力作用在很小面积上，可近似一点。如图：,集中力偶：力偶两力分布在很短一段梁上，可简化为作用在梁的某一截面上。如图：,分布载荷：载荷分布在较长范围内，以单位长度受力 q 表示。 q 单位 N / m 如图：,作用于梁上载荷有三种形式：,4-2 梁弯曲时的内力,一、内力计算 内力计算方法如下： 第一步解除支座约束，计算约束反力。 第二步用截面法将梁分成两部分。 第三步由平衡条件计算截面处内力。,如图：简支梁，试计算 m n 截面内力。,解: (1)
4、 解除约束， 求约束反力,列平衡方程,RxA = 0 RyA + RyB = P RyB(a+b) Pa = 0,(2) 用截面法求内力,截面处存在的内力： 阻止 RyA 作用下绕 O 转动，截面必存在附加内力矩 M，阻止转动。 平衡 RyA力，截面上必有向下力 Q,附加内力矩M称为截面弯矩。 截面内力Q称为剪力，与外力平行，有使 梁沿 mn 截面剪断趋势。 分离体处于平衡，由平衡条件得： y = 0 RAy Q = 0 M = 0 M RAy x = 0,结论： 受弯曲梁任一截面内力有 弯矩与剪力。 剪力等于截面之左（或右）所有外力代数和。 弯矩等于截面之左（或右）所有外力（力偶）对截面形心
5、之矩代数和。,剪力与弯矩对梁强度影响： 由经典力学分析 弯矩对梁强度影响远大于 剪力对梁强度。 工程计算一般只考虑弯矩，忽略剪力。,二、弯矩符号规定 规定如下： 所求弯矩的截面附近能形成上凹下凸的弯曲变形，该截面弯矩为正；反之为负。,m n 截面附近弯曲形状，如图，弯矩M为正。,反之 发生如下图弯曲形状，弯矩为负。,由此得“左顺右逆”弯矩为正 规定：,截面左侧所有对截面形心之矩为顺时针 的外力及顺时针的力偶，它们 在截面处产生弯矩为正，反之 为负。 截面右侧所有对截面形心之矩为逆时针 的外力及逆时针的力偶，它们 在截面处产生弯矩为正，反之 为负。,4-3 弯矩图,由截面法计算出横截面弯矩随轴线
6、 x 变化规律 M = M(x) 称为梁弯矩方程 将弯矩大小与正负表示在图上弯矩图 画弯矩图的基本方法： (1) 对双支点梁解除约束，求支座反力，悬臂 梁不必求支座反力,从悬臂端开始计算。 (2) 在有集中力或集中力偶处分段，求出每一段弯矩方程。 (3) 选适当比例，以横截面位置x为横坐标，弯矩M为纵坐标作弯矩图。,例一，如图： 受集中载荷简支梁。 试画出弯矩图。,解：解除约束，求约束反力,RAy 3a P 2a + m = 0 RAy + RBy P = 0,分段求各段弯矩,AC段，在AC段任取一截面,0xa,DC段，在DC段任取一截面,ax2a,BD段，在BD段任取一截面,0xa,画弯矩图
7、,例二、有一悬臂梁 长l，其上分布载荷q和集中力偶矩m. 试画出弯矩图。,解：悬臂梁可不必求约束反力 直接分段 AB与BC段,AB段 在AB之间任取一截面 弯矩,B截面右侧,MB右=,0x,BC段 在BC之间任取一截面,B截面左侧，,MB左,C点 x=l， MC =0,例三、有一梁受力如图，试画出弯矩图。,解: (1) 解除约束， 求约束反力,RBx = 0 RBy + RAy qa qa = 0,RAy = 1.75 qa RBy = 0.25 qa,(2) 分段求各段弯矩，分DA,AC,CB三段。,0xa,DA段，在之间任取一截面,AC段，在之间任取一截面,a x2a,BC段，在之间任取一
8、截面,(3) 画弯矩图,0 xa,4-4 纯弯曲时梁横截面上的正应力,纯弯曲忽略掉剪应力，梁变为只有弯矩 而无剪力梁，此时弯曲为纯弯曲。 纯弯曲梁梁横截面上只有弯矩而无剪力。,两端受到一对外力偶作用典型纯弯曲梁 梁上既有弯矩又有剪力作用时的弯曲称为剪切弯曲,分析纯弯曲梁横截面正应力方法分四步： 一、实验观察与假设推论 如图一矩形截面梁， 在侧面分别画上与梁 轴线相垂直的线 11 ，22，及与梁轴线平行线ab，cd 11，22 代表横向截面ab，cd代表纵向截面,两端施加外力偶，使梁产生纯弯曲 变形如图,观察现象如下： 1、变形后，11，22仍为直线，但转一定角度，仍与梁轴相垂直。 2、纵向线a
9、b，cd及轴线由直线变为圆弧，ab缩短，cd伸长。 3、梁横截面高度不变，宽度变化，凹入顶部略增大，凸出底部略变小。,由观察现象作两点假设：,1、平面假设梁横截面弯曲变形后均为 平面，仍垂直于轴线。横 截面只绕某轴转个角度。 2、互不挤压假设假设梁由很多层纤维 组成，变形时各层纤 维只受轴向拉伸或压 缩，各层纤维 互不 挤压。,由假设作如下推论：由观察得知，横截面只相对偏转了一个角度，纵向纤维受到轴向拉伸或压缩。,1、纯弯曲梁变形本质是拉伸或压缩变形，不是剪切变形。 2、横截面只有正应力，无剪应力。凹侧受压，有压缩应力，凸侧受拉，存在拉应力。 3、中间存在一层既不受拉也不受压的中性层，其上应力
10、为0。 注意：中性层含义,二、应变与几何尺寸之间关系 从受纯弯曲梁取一段dx长。 dx微段的两横截面变形后夹角d ,中性层曲率半径为,OO1 = OO2 = O1O2 = dx = d 中性层变形前后长度不变。 变形后 c1d1 =( +y)d c1d1的应变,三、物理关系虎克定律 由假设可得 梁弯曲本质是拉伸与压缩 hook定律：,上式显示： 梁截面上任一点应力与该点到中性轴距离成正比，y=0的中性面上 应力为0，上、下边缘正应力最大。,四、静力学关系 寻找正应力与弯矩M之间关系 如图：纯弯曲梁横截面应力分布 中性轴两侧 一边受拉 一边受压 可构成力偶,如图 在梁横截面上取微面dA，距中性轴
11、距离y dA上内力dF dF = dA,dF对中性轴之矩dM， dM = y dA M= AdM =A ydA, M= A y2 dA 令IZ = A y2 dA ，IZ横截面对中性轴的轴惯性矩 y为横截面任一点到中性层的距离,EIZ抗弯刚度,此式为纯弯矩梁横截面上任一点正应力公式。 y横截面上任一点距中性轴距离。,曲率 与M成正比，M越大，梁弯曲越厉害。 曲率与EIZ成反比。,注意： 弯曲正应力与M成正比，与距离y成反比，最大应力存在于梁边缘处,当截面对称于中性面，最大拉、压应力相等。,当中性面与上下边缘距离不等时，要分别计算拉应力与压应力。 令,WZ 横截面对中性轴Z的 抗弯截面模量。,五
12、：弯曲正应力公式适用范围 弯曲正应力计算公式是在纯弯曲下导出梁截面只有弯距没有剪力。 实际梁受到横向力作用梁截面既有弯矩又有剪力。横截面存在剪力 互不挤压假设不成立， 梁发生翘曲。 根据精确理论和实验分析： 当梁跨度L与横截面高度h之比 L / h5时，存在剪应力梁的正应力分布与纯弯曲很接近。,公式适用范围： 梁跨度l与横截面高度h之比 l / h5，可使用梁正应力计算公式。,梁正应力计算公式由矩形截面梁导出，但未使用矩形的几何特性。 所以公式适用于有纵向对称面的其它截面梁。 如 工字钢、槽钢及梯形截面梁等。,梁材料必须服从虎克定律，在弹性范围内，且材料的拉伸与压缩弹性模量相同，公式才适用。,
13、4-5 截面的轴惯性矩和抗弯截面模量,1、矩形截面（中性轴与截面形心重合） 梁上受载荷如图(hb立放) 轴惯性矩 IZ,抗弯截面模量WZ,IZ = y2bdy =,h/2,-h/2,IZ =Ay2dA dA=bdy,Iy = y2hdy =,-b/2,b/2,将上图矩形截面梁，如图放置时（平放） Iy =Ay2dA dA=hdy,对相同的矩形截面梁不同放置方法,会有不同的轴惯性矩和不同的抗弯模量。 工程上承受弯曲作用时, 要选择I与W大的放法,要立放,对中性轴与截面形心不重合 如图梯形截面,IZ = y2dA = y2dA,y1,-y2,WZ1与WZ2不相等，正应力计算时采用较小抗弯模量进行计
14、算。 对中性轴与截面形心不重合的梁，IZ只有一个值，但抗弯模量有两个，在设计与计算时必须注意。,A,2、圆形及圆环形截面 对实心圆截面 对圆截面，通过形心任一轴的惯性矩相等。,即 Iz = Iy= y2dA = (Rsina)2 dA dA=2Rcosa dy , y=Rsina dy=Rcosa da,A,Iz = Iy= 2 2R4 sin2 a cos2 a da=,截面抗弯模量Wz=Wy=,0,对圆环截面 令 d/D=,Iy= Iz =,Wz = Wy=,对于口径较大，壁厚较薄管,D-d=2S Iz = Iy,作业:4-1(c、g、h），2，3,4-6 弯曲正应力的强度条件,保证梁工作
15、时最大应力在许用应力范围内，即满足强度条件：,可能存在最大应力的位置： 弯矩最大截面 惯性矩 IZ 最小截面,注：弯矩有正负。计算时以绝对值代入， 计算应力max总为正，是拉应力。 许用应力 由实验确定。 截面不对称于中性轴时，存在两个抗 弯截面模量WZ1，WZ2，计算取较小截 面模量代入。 材料抗拉、抗压强度不同时，分别求 出梁的最大拉、压应力，保证：,max拉=,max压=,拉,压,例一、有一阶梯圆柱截面梁，许用应力 =200MPa ,结构尺寸如图,d1 = 50mm， d2 = 80mm， d3 = 60mm P1 = 10kN，P2 = 5kN,解：解除约束，求约束反力,N1 1500
16、P1 750 P2 250=0 N1 =5.83(kN) N2 =9.17(kN),画弯矩图 分段求各段弯矩方程,MAB =5.83x，0x0.75m MCD =9.17x，0x0.25m,可能的危险截面 E，F，B截面可能成为危险截面。,E 截面弯矩 ME = 5.830.5 = 2.92kN m B 截面弯矩 MB = 5.830.75 = 4.37kN m F 截面弯矩 MF = F在B、C中点,对B，E，F截面强度校核 对B截面,87 MPa = 200 MPa 安全,对F截面,= 157 MPa 安全,对E截面,= 238.9 MPa 危险,例二、有一梯形截面支承架，结构尺寸如图,截
17、面惯性矩 IZ =100cm4 ，y1 =100mm，y2 =50mm 材料许用拉应力 拉 = 200 Mpa 材料许用压应力 压 = 250 Mpa 试校核该梁强度。,解：解除约束，求约束反力,N1 5152.5 = 0 N1 = 2.5 kN N2 = 2.5 kN,求弯矩,0 x 5,画弯矩图,强度校核, max拉 =, max拉 =,= 156 MPa 拉, max压 =, max压 =,= 312.5 MPa 压,梁不安全,4-7 梁截面合理形状选择,工程常用的矩形截面梁 如图：h b, 立放,平放,立放 WZ1 平放WZ2 上、下表面应力小，安全或可以承受更大载荷。,4-8 梁弯曲
18、变形,一、梁的弹性曲线，挠度和转角 如图 梁受力，中心轴线变形AB的曲线为挠曲线,挠度：梁任一截面形心位移量为该截面挠度，用y表示。用f表示最大挠度。y与坐标轴y正方向相同为正，反之为负。,将梁弯曲形状用曲线方程表示，该方程称为 挠曲线方程。 位移量y随截面位置变化，y=f(x)为挠曲线方程。 截面转角：梁截面绕自身中性轴转角 表示。 逆时针为正，反之为负。,由微分学得：,很小时，tg ,即 f (x),二、挠曲线的近似微分方程,梁轴上任一点曲率方程 ：,由微分学方程 可得：,梁变形曲率方程：,由于梁是微变形，截面转角很小，dy/dx项极小可以忽略，由此简化得到下式,称为梁弹性曲线近似方程 由
19、于变形量y与弯矩符号始终一样 变形微分方程为：,积分一次可得：,积分二次：,=M(x) dx+C 转角方程,EIy =M(x) dxdx+Cx+D 梁变形挠度方程 例题：如图等截面梁抗弯刚度EI，求挠度方程,解：解除约束，求支反力 NA = NB =P/2,AB，BC段弯矩方程,AB段挠度方程,由边界条件求未知量C，D,支座 A 点 x=0，y=0，得D=0,集中力P作用处，挠曲线切线与轴线平行 x=L/2，转角=0,挠曲线方程：,三、用叠加法求弯矩图和弯曲变形 1、叠加法求弯矩图 方法：分别求出每一载荷的弯矩图，然后 弯矩图叠加。,例一、梁受力如图，画弯矩图,解：将梁分成集中力和集中力偶单独作用 弯矩图 进行叠加,+,+,例二、梁受力如图 求弯矩图,解：,+,+,2、叠加法求变形 分别求出每一单一载荷作用产生的变形量，然后叠加。,四、梁的刚度校核和提高梁弯曲刚度的措施 1、刚度校核 控制梁变形，使梁最大变形和转角在许可范围内。 刚度校核两条件： 最大挠度 f f 许可挠度 最大转角 许可转角 有关设计手册中规定 f 与取值。,2、提高刚度措施 由挠度与转角与梁跨度和抗弯刚度EI有关。 提高刚度措施： 减小跨度 提高刚度,注： 对钢材而言，各种钢的弹性模量E相差不大。改变钢种提高EI 方法不可取。 有效方法是提高轴惯性矩 I 作业：4-7、10、12、14、15,