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1、第3讲 点、直线、平面之间的位置关系,1平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、,“图形语言”列表,公理 2 的三条推论： 推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 面； 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面,公理 4：平行于同一条直线的两条直线_,平行,等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那,么这两个角_,相等或互补,2空间线、面之间的位置关系,平行,相交,异面,无数个,只有一个,没有,没有,重合且有一条,公共直线,3异面直线所成的角 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与
2、 b. 那么直线 a与 b所成的_，叫做异面直线 a 与 b,所成的角，其范围是(0，90,锐角或直角,1互不重合的三个平面最多可以把空间分成几个部分(,),A4,B5,C7,D8,D,2若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是,“这两条直线没有公共点”的(,),A,A充分非必要条件 C充要条件,B必要非充分条件 D非充分非必要条件,3(2010年全国)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A30 B45 C60 D90,解析：延长CA到D，使得ADAC，则ADA1C1为平行四边形，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成
3、的角，又三角形A1DB为等边三角形，DA1B60.,C,4长方体 ABCDA1B1C1D1中，既与 AB 共面也与 CC1 共面,的棱的条数为(,),C,A3,B4,C5,D6,),D,5A，B，Al，Bl，Pl，则( AP BP Cl DP,考点1,平面的基本性质,例1：如图 1331，在四面体 ABCD 中作截 面 PQR，PQ，CB 的延长线交于 M， RQ，DB 的延长线交于 N，RP，DC 的 延长线交于 K. 求证：M，N，K 三点共线,图 1331,PQCBM， 证明： RQDBN， RPDCK,M，N，K平面 BCD， M，N，K平面 PQR,M，N，K 在平面 BCD 与平面
4、 PQR 的交线上，即 M，N， K 三点共线,要证明M，N，K 三点共线，由公理 3 可知，只要 证明M，N，K 都在平面 BCD 与平面PQR 的交线上即可证明多 点共线问题：(1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条 直线上；(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上两相 交平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面 或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点,【互动探究】,1下列推断中，错误的个数是(,),A,Al，A，Bl，Bl；A，B，C，A， B, C, 且 A，B，C 不共线、重合；l，AlA.,A1 个 C3 个,B2 个 D0 个,2E，F，G，H 是三
5、棱锥 ABCD 棱 AB，AD，CD，CB 上,的点，延长 EF，HG 交于 P，则点 P(,),B,A一定在直线 AC 上 C只在平面 BCD 内,B一定在直线 BD 上 D只在平面 ABD 内,考点2 空间两直线的位置关系 例2：如图 1332，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，E，,F 分别是 AB1，BC1的中点，则以下结论不成立的是(,),AEF 与 BB1 垂直 CEF 与 CD 异面,BEF 与 BD 垂直 DEF 与 A1C1 异面,解析：连接A1B，则A1B 经过点E，且E 为A1B 的中点，又F 是BC1 中点，EFA1C1. 故D 不成立,D,图 1332,【互动
6、探究】 3如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中,点，则这四个点不共面的一个图是(,),D,解析：在A图中分别连接PS，QR，易证PSQR，P，S， Q，R共面在B 图中，P，S，R，Q均在截面PSRQ 上，P，S， R，Q 共面在C 图中分别连接PQ，RS，也易证PQRS.P，Q， R，S 共面；故选D.,4(2011 年四川)l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命,题正确的是(,),B,Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3 Cl1l2l3l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 解析：对于A，直线l1 与l3 可能异面
7、；对于C，直线l1，l2， l3 可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1， l2，l3 相交于同一个点时不一定共面所以选B.,考点3 异面直线所成的角,例 3：(2011 年上海)如图 1333 已知 ABCDA1B1C1D1 是,底面边长为 1 的正四棱柱，高 AA12.求： (1)异面直线 BD 与 AB1 所成的角的余弦值； (2)四面体 AB1D1C 的体积,图 1333,求异面直线所成角的基本方法就是平移，有时候 平移两条直线，有时候只需要平移一条直线，直到得到两条相交 直线，最后在三角形或四边形中解决问题,【互动探究】,5正方体ABCDABCD中，AB的中点为M
8、，DD的中点为N，异面直线BM与CN所成的角是( ) A0 B45 C60 D90,D,考点4 立体几何中的探究问题 例4：在长方体 ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一点 P(如图,(1)过 P 点在空间作一直线 l，使 l直线 BD，,1334，其中 P 点不在对角线B1D1上) 应该如何作图？并说明理由； (2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m，,图 1334,【互动探究】 6(2010 年江西)如图 1335 过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等，这,样的直线 l 可以作(,),D,图1335,A1
9、 条,B2 条,C3 条,D4 条,解析：考查空间感和线线夹角的计算和 判断，重点考查学生分类、化归转化的能力 第一类：通过点 A 位于三条棱之间的直线有 一条对角线AC1；第二类：在图形外部和每 条棱的外角和另2 条棱夹角相等，有3 条，合计4 条,1反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点、 线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和逻辑推理 的依据公理 1 判断直线在平面内的依据；公理 2 的作用是确定 平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公理 3 是证明三(多) 点共线或三线共点的依据,2理解空间中直线与直线的位置关系，掌握异面直线的两种,判断方法：,(1)反证法：
10、先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行 或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而 否定假设肯定两条直线异面,(2)客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点,的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线,1平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定成立例 如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”，“同时 垂直于一条直线的两条直线平行”等性质在空间都不成立,2正确理解异面直线的定义，是“不同在任何一个平面内的 两条直线”，而不能理解成“不在同一个平面内的两条直线” 3直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线不在平面内， 记作：l，包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形,