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1、1,9.2 简单的数值方法,9.2.1 欧拉法与后退欧拉法,积分曲线上一点 的切线斜率等于函数 的 值.,如果按函数 在 平面上建立一个方向场，那么，,积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向一致.,在 平面上，微分方程 的解 称 作它的积分曲线.,2,基于上述几何解释，从初始点 出发，,图9-1,3,一般地，设已作出该折线的顶点 ，过 依 方向场的方向再推进到 ，显然两个顶点 的坐标有关系,即,（2.1）,这就是著名的欧拉（Euler）公式.,若初值 已知，则依公式（2.1）可逐步算出,4,例1,（2.2）,求解初值问题,解,取步长 ，,欧拉公式的具体形式为,计算结果见表9-1.,初
2、值问题（2.2）的解为 ，按这个解析式 子算出的准确值 同近似值 一起列在表9-1中，两者 相比较可以看出欧拉方法的精度很差.,5,还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度.,假设 ，即顶点 落在积分曲线 上，,6,图9-2,从图形上看，这样定出的顶点 明显地偏离了原来 的积分曲线，可见欧拉方法是相当粗糙的.,7,在 的前提下，,称为此方法的局部截断误差.,于是可得欧拉法（2.1）的公式误差,（2.3）,（2.4）,如果对方程 从 到 积分，得,8,右端积分用左矩形公式 近似.,再以 代替,如果在（2.4）中右端积分用右矩形公式,（2.5）,称为后退的欧拉法.,欧拉公式是关于 的一个直接的计算公
3、式，这类公式,代替 也得到（2.1），,局部截断误差也是（2.3）.,近似，则得另一个公式,称作是显式的；,9,公式（2.5）的右端含有未知的 ，它是关于 的一个函数方程，,隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显示化.,设用欧拉公式,给出迭代初值 ，用它代入（2.5）式的右端，使之转化 为显式，直接计算得,这类公式称作是隐式的.,10,然后再用 代入（2.5）式，又有,如此反复进行，得,（2.6）,由于 对 满足利普希茨条件（1.3）.,由（2.6）减（2.5）得,由此可知，只要 迭代法（2.6）就收敛到解 .,11,9.2.2 梯形方法,若用梯形求积公式近似等式（2.4）右端的积
4、分,并分别用 代替 则可得到比欧拉法 精度高的计算公式,（2.7）,称为梯形方法.,梯形方法是隐式单步法，可用迭代法求解.,12,为了分析迭代过程的收敛性，将（2.7）与（2.8）式相减，得,（2.8）,同后退的欧拉方法一样，仍用欧拉方法提供迭代初值，,则梯形法的迭代公式为,13,如果选取 充分小，使得,则当 时有,这说明迭代过程（2.8）是收敛的.,于是有,式中 为 关于 的利普希茨常数.,14,9.2.3 改进的欧拉公式,梯形方法虽然提高了精度，但其算法复杂.,在应用迭代公式（2.8）进行实际计算时，每迭代一次，都要重新计算函数 的值.,为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步的 计算
5、，这就简化了算法.,具体地，先用欧拉公式求得一个初步的近似值 ,而迭代又要反复进行若干次，计算量很大，而且往往难以预测.,称之为预测值，,15,这样建立的预测-校正系统通常称为改进的欧拉公式：,预测值 的精度可能很差，再用梯形公式（2.7）将它校正一次，即按（2.8）式迭代一次得 ，这个结果称校正值.,预测,校正,（2.9）,也可以表为下列平均化形式,16,例2,解,用改进的欧拉方法求解初值问题（2.2）.,（2.2）,这里,改进的欧拉公式为,17,仍取 ，计算结果见表9-2.,同例1中欧拉法的计算结果比较，改进欧拉法明显改善了精度.,18,9.2.4 单步法的局部截断误差与阶,初值问题(1.
6、1)，(1.2)的单步法可用一般形式表示为,（2.10）,其中多元函数 与 有关，,当 含有 时，方法是隐式的，若不含 则为显式方法，,（2.11）,称为增量函数.,所以显式单步法可表示为,例如对欧拉法（2.1）有,它的局部截断误差已由（2.3）给出.,19,对一般显式单步法则可如下定义.,定义1,设 是初值问题(1.1)，(1.2)的准确解，,（2.12）,为显式单步法（2.10）的局部截断误差.,之所以称为局部的，是假设在 前各步没有误差.,当 时，计算一步，则有,称,20,在前一步精确的情况下用公式（2.11）计算产生的公式误差.,根据定义，欧拉法的局部截断误差,即为（2.3）的结果.,这里 称为局部截断误差主项.,局部截断误差可理解为用方法（2.11）计算一步的误差，即,显然,21,定义2,设 是初值问题(1.1)，(1.2)的准确解，,若存在最大整数 使显式单步法(2.1)的局部截断误差满足,（2.13）,则称方法（2.11）具有 阶精度.,若将（2.13）展开式写成,则 称为局部截断误差主项.,以上定义对隐式单步法（2.10）也是适用的.,22,对后退欧拉法（2.5）其局部截断误差为,这里 ，是1阶方法，局部截断误差主项为 .,23,对梯形法（2.7）有,所以梯形方法是2阶的，其局部误差主项为,