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1、复习,级数类型,正项级数,交错级数,任意项级数,级数,无穷级数,级数收敛的判别法,解题方法流程图,Yes,判断 的敛散性,比值法,根值法,比较法,找正项收敛 级数,找正项发散 级数,用其它方法证明,No,No,No,Yes,为正项级数,为任意项级数,绝对收敛,，由定义,所以原级数收敛，且和为1。,【例1】判别级数 的收敛性，并求级数的和。,解： 由于,由级数收敛的必要条件，原级数发散。,【例2】判别级数 的收敛性。,可由级数收敛的必要条件，原级数发散。,解： 因为,而,故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。,【例3】判别级数 的收敛性。,解法1：此级数为正项级数，,而级数 为等比级数收敛，,解
2、法2：由比值审敛法,故由比值审敛法知原级数收敛。,解：因为,所以，分别考虑 和 的敛散性。,对于,由比值法,知 收敛，所以， 绝对收敛；,同理得 收敛，可知原级数收敛。,【例4】判别级数 的收敛性。,【例5】判断级数 收敛？如果收敛，是条件收敛 还是绝对收敛？,分析：采用莱布尼兹 定理判别法。,解：此级数为交错级数，因为 , 而 发散,原级数非绝对收敛.,因为 为交错级数, 由莱布尼玆定理,由比较审敛法知 发散,所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。,所以 在 上单增，即 单减 ，,故当 时， 单减，,令,多元函数微分学,求二元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,不存在,特殊路径、两种方式,解,则,例6 求极限,例7 求极限,解,则,求法,化成一元极限,多元函数连续、可导（偏导数存在）、可微的关系,解：,解：,例 8 设 u=f(xy,yz,zx,),其中f是具有二阶偏导数的函数，求,解,复合函数微分法链式法则,例9,解,利用公式.,令,则,利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中x,y,z视作独立变量.,隐函数微分法公式,解,直角坐标系下,二重积分的计算,解,积分区域如图,解,