高等数学基础形成性考核手册答案知识点复习考点归纳总结 .doc

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1、高等数学基础形考作业 1 答案 第 1 章 函数电大考试电大小抄电大复习资料 第 2 章 极限与连续 （一）单项选择题 下列各函数对中，（C）中的两个函数相等 A. ， B. ，2)(xfxg(2)(xfxg)( C. ， D. ，3lnf ln1f 1 2 设函数 的定义域为 ，则函数 的图形关于（C ）对称)(xf ),()(xf A. 坐标原点 B. 轴x C. 轴 D. yy 下列函数中为奇函数是（B） A. B. )1ln(2xcos C. D. ay )1ln(xy 下列函数中为基本初等函数是（C ） A. B. 1xy xy C. D. 2 0,1 下列极限存计算不正确的是（D

2、） A. B. 12limx )ln(im0xx C. D. 0sinlmx 01sinlmxx 当 时，变量（C）是无穷小量 A. B. i C. D. x1sin2)ln(x 若函数 在点 满足（A），则 在点 连续。)(f0f0 A. B. 在点 的某个邻域内有定义lim0fx)(x C. D. )(00xf )(limli00xffxx （二）填空题 函数 的定义域是 )1ln(39)( 2xxf,3 已知函数 ，则 x2-x f2f xx)1(lim2 1e 若函数 ，在 处连续，则 e 0,)()1xkf k 函数 的间断点是 ,sinxy 若 ，则当 时， 称为 。Afx)(li

3、m0 0xAf)(时 的 无 穷 小 量0x （三）计算题 设函数 0,e)(xxf 求： )1(,0)2(ff 解： ， ，1fe 求函数 的定义域lgxy 解： 有意义，要求 解得21lxy 210x102x或 则定义域为 1|02x或 在半径为 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的R 两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数 解： D A R O h E B C 设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为 h，即 OE=h，下底 CD2R 直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得22AEORh 则上底 故 22hSRhRhA 求 xxsin3lm0 解：

4、 000 sisin3lillm22xxx132 求 )1sin(lm 21xx 解： 2111() 1lililim2sn()()snxxx 求 x3tanlim0 解： 00si1sin31ll 3cocosxxxA 求 xsin1l 20 解： 222200 0(1)(1)lmli limi sin(1)sinxx xxx 02lii()x 求 xx)31(li 解： 143311()()1lim()li()limli333xxxxx e 求 4586li24xx 解： 244422limlilim113xxx 设函数 1,1,)()2xxf 讨论 的连续性。)(xf 解：分别对分段点

5、处讨论连续性1,x （1） 11limli10xxf 所以 ，即 在 处不连续11lilixxfffx1 （2） 2211limlixxff 所以 即 在 处连续11lilixxffffx1 由（1）（2）得 在除点 外均连续fx1 高等数学基础作业 2 答案： 第 3 章 导数与微分 （一）单项选择题 设 且极限 存在，则 （C ）0)(fxf)(lim0xf)(li0 A. B. f C. D. cvx)(xf 设 在 可导，则 （D）f0 hxfxfh2)(lim00 A. B. )(20xf)(0f C. D. x 设 ，则 （A）xfe)(ff)1(lim0 A. B. C. D.

6、2e14 设 ，则 （D）)9()()(xxf )0(f A. B. C. D. 99!9 下列结论中正确的是（C） A. 若 在点 有极限，则在点 可导 B. 若 在点 连续，则在点)(xf00x)(xf0 可导0 C. 若 在点 可导，则在点 有极限 D. 若 在点 有极限，则在点)(xf00x)(xf0 连续0x （二）填空题 设函数 ，则 0 0,01sin)(2xxf )(f 设 ，则 。xxfe5)e(2fd)(lx5ln2 曲线 在 处的切线斜率是 。1f),(1k 曲线 在 处的切线方程是 。xfsin)(,2y 设 ，则xy2y)ln1(xx 设 ，则 。ln （三）计算题

7、求下列函数的导数 ：y xye)3( 解: xxe3xxe2 123)( ylncot2 解： xxlnl2 xln2cs2 xyln 2 解： x2 2ln x2l 3cosxy 解： 23 3cosxx4)()ln2si(xx xysinl 2 解： xx2 22sinsinll x2sico)(l)1(sin yln4 解： xxlnsilsi4 xxlncosi43 xy3sin 2 解： 2 2233sinsinxxyxxx2l)(i)(co3 yxlntae 解： xexx lntat xex1costa2 求下列函数的导数 ：y xye 解： xxx e21 ycosln 解：

8、xxtancosii1 xy 解： 8781 xy2sin 解： xx2sincosin2i 2sixy 解： xxycos2cos 2 2ex 解： 222sinsinxxx ey xco 解： xynncosisi )(cs1x xysin5 解： xsinsi 5colsl xycose 解： xexcoss ini 在下列方程中， 是由方程确定的函数，求 ： yx2ecos 解： ye2inyex2cosin xylcs 解： xy1.cosln.i )lnsi(xy yx 2sin 解： 2sin.coyx yxyxysin2)cos2(222sixyy ln 解： 1y1y 2el

9、nx 解： yy1)2(yex xsine2 解： xxeyy.si.co yexcos2in 3exy 解： yxy223ye x yx5 解： 2lnlyx 2ln15y x 求下列函数的微分 ：（注： ）yddxy xcsot 解： ot2 dxxy)sinco1(22 xsinl 解： y x2sicol1 dxdy2sincol1 x2in 解： ycos xddycosi xeta 解： xy2sc dxexey22scsc33 求下列函数的二阶导数： xy 解： 2 1 232341 xy xy3 解： ln xxy3ln3l2 xy 解： xy12 sin 解： ycos xx

10、xy sinco2sincos （四）证明题 设 是可导的奇函数，试证 是偶函数)(xf )(f 证：因为 f(x)是奇函数 所以 x 两边导数得： )()()1( fffxf 所以 是偶函数。)(f 高等数学基础形考作业 3 答案： 第 4 章 导数的应用 （一）单项选择题 若函数 满足条件（D），则存在 ，使得 )(xf ),(baabff)()( A. 在 内连续 B. 在 内可导,ba C. 在 内连续且可导 D. 在 内连续，在 内可导)( ,),( 函数 的单调增加区间是（D ）142xf A. B. ),()1,( C. D. 22 函数 在区间 内满足（A ）542xy)6,(

11、 A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 函数 满足 的点，一定是 的（C ）)(xf0)(f )(xf A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点 设 在 内有连续的二阶导数， ，若 满足（ C ），则)(xf,ba),(0bax)(xf 在 取到极小值0 A. B. 0)(,)(xfxf 0)(,)(0xfxf C. D. 0 设 在 内有连续的二阶导数，且 ，则 在此)(xf,ba )(,)(xff )(xf 区间内是（ A ） A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的 （二）填

12、空题 设 在 内可导， ，且当 时 ，当 时)(xf,ba),(0bax0x)(f0x ，则 是 的 极小值 点0 )(f 若函数 在点 可导，且 是 的极值点，则 0 xf00x)(f )(0xf 函数 的单调减少区间是 )1ln(2y),( 函数 的单调增加区间是2exf ,0 若函数 在 内恒有 ，则 在 上的最大值是 )(,ba)(xf)(xf,ba)(af 函数 的拐点是352)(xxf2,0 （三）计算题 求函数 的单调区间和极值2(1)y 解：令 )1(53)()5 xxx,驻 点 列表： 极大值： 32)1(f 极小值： 05 求函数 在区间 内的极值点，并求最大值和最小值23

13、yx,0 解：令： ，列表：。x驻 点(1 （0,1） 1 （1,3）y + 0 上升 极大值 2 下降1322xxy 21f极 值 点 ： 6)3(最 大 值 2)1(f最 小 值 3.求曲线 上的点，使其到点 的距离最短xy2 )0,(A 解： ，d 为 p 到 A 点的距离，则：上 的 点是设 p),( xyxd2)(2 102)(1)(2 xxd令 y。Ax的 距 离 最 短到 点，或上 点 )0,(-1),(2 。 4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱L 体的体积最大？ 解：设园柱体半径为 R，高为 h，则体积 hhRV)(22LhLLV 33

14、03)2( 22 令 。RhLR时 其 体 积 最 大当 ,33 5.一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设园柱体半径为 R，高为 h，则体积 hV222RS表 面 积 X ),(1 (1,5) 5 ),(y + 0 0 + y 上升 极大值 32 下降 极小值 0 上升)(6)()0( fff 332 2204VRVRVS。令 34h 答：当 时表面积最大。33h 6.欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底长为 x，高为 h。则： 225.65.6x 侧面积为： S042 令 51032 xx 答：当底连长为 5

15、 米，高为 2.5 米时用料最省。 （四）证明题 当 时，证明不等式 )ln(x 证：在区间 应 用 拉 格 朗 日 定 理 ， 有上 对 函 数 fx1, lnl 其中 ，于是由上式可得1,1故x )1ln(x 当 时，证明不等式 0ex 证： )1()(xf设 0)()(,00 fxf。e 单 调 上 升 且时当时当 )1(,0)(xexf即 高等数学基础形考作业 4 答案： 第 5 章 不定积分 第 6 章 定积分及其应用 （一）单项选择题 若 的一个原函数是 ，则 （D）)(xfx1)(f A. B. ln2 C. D. x13x 下列等式成立的是（D） A B. C. )(d)(xf

16、f )(dxff D. x 若 ，则 （B ）fcos)(xf)( A. B. sincos C. D. x （B）fd)(32 A. B. )(32xf C. D. )(31xf 1 若 ，则 （B）cFf)(dxfd)( A. B. cxF)( cxF)(2 C. D. 21 下列无穷限积分收敛的是（D ） A. B. dx1 dxe0 C. D. 1 12 （二）填空题 函数 的不定积分是 。)(xf dxf)( 若函数 与 是同一函数的原函数，则 与 之间有关系式F)(G)(xFG 。cx常 数)( 。de22 。x)(tanct 若 ，则 。f3os)(xf)3cos(9x 335d

17、)21(six 若无穷积分 收敛，则 。1p0p （三）计算题 cxdxx 1sin)(cosd cos2 cexdexx22e )ln()(ln1l cxxdxxdx 2sin41co2cos21s2cos2si e1 1e1 7)ln3()l()ln3(ln3 exxx 413422d 2021002 dexxxx 1lnl1ln 212 21e1 eeeee e exdxx112e12ldl （四）证明题 证明：若 在 上可积并为奇函数，则 )(f,a0d)(axf 证: aaaa tftdtfdxftx )()()(令 证毕0)( aa xdf 证明：若 在 上可积并为偶函数，则 x,

18、 aaxfxf0d)(2d)( 证： aaa xfxff 00d)()()( aaa xftftfxftx 000 )(d)()(d)(, 是 偶 函 数则令 证 毕 aaa xfxf 000 d)(2)( 高等数学（1）学习辅导(一) 第一章 函数 理解函数的概念；掌握函数 )(xfy中符号 f ( )的含义；了解函数的两要素；会 求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。 两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。 了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。 若对任意 x，有 )(xff，则 )(f称为偶函数，偶函数的图形关于 y轴对称。 若对任意 ，有 )(

19、)(ff，则 )(f称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。 掌握奇偶函数的判别方法。 掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。 熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 基本初等函数是指以下几种类型： 常数函数： cy 幂函数： )(为 实 数x 指数函数： 1,0ay 对数函数： )(logxa 三角函数： xcot,tncs,i 反三角函数： xarrar 了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。 如函数 )1(arctn2exy 可以分解 ， ， ， 。分解后的函数前三个都是基 uye2vwarctnx1 本初等函数，而第四个函数是常数函数

20、和幂函数的和。 会列简单的应用问题的函数关系式。 例题选解 一、填空题 设 ，则 fx() 。 )0(1)(2xxf 解：设 ，则 ，得 tttttf 2211)( 故 。x f)( 函数 的定义域是 。 xf5)2ln(1) 解：对函数的第一项，要求 且 ，即 且 ；对函数的00)2ln(2x3 第二项，要求 ，即 。取公共部分，得函数定义域为 。5x5 5,(), 函数 的定义域为 ，则 的定义域是 。)(f1,)(lxf 解：要使 有意义，必须使 ，由此得 定义域为 。lnx1n0)(lnxfe,1 函数 的定义域为 。3 92y 解：要使 有意义，必须满足 且 ，即 成立，3 92xy

21、 092x3x3x 解不等式方程组，得出 ，故得出函数的定义域为 。 3x或 ),(,( 设 ，则函数的图形关于 对称。2 )(xaxf 解： 的定义域为 ，且有f ),()(22)()( xfaaaxf xxxx 即 是偶函数，故图形关于 轴对称。f y 二、单项选择题 下列各对函数中，（ ）是相同的。 A. ； B. fxgx()ln,()ln 2 ；xgxf)(,)( 2 C. f()ln,()ln 3 ； D. f,11 解：A 中两函数的对应关系不同 , ， B, D 三个选项中的每对函数的定x 2 义域都不同，所以 A B, D 都不是正确的选项；而选项 C 中的函数定义域相等，且

22、对 应关系相同，故选项 C 正确。 设函数 fx()的定义域为 (,)，则函数 fx() 的图形关于（ ）对称。 A.yx； B.x 轴； C.y 轴； D.坐标原点 解：设 ，则对任意 有)()(xfFx )()()()()()( xFfxfxffxfF 即 是奇函数，故图形关于原点对称。选项 D 正确。 3设函数 的定义域是全体实数，则函数 是（ ）)(xf A.单调减函数； B.有界函数； C.偶函数； D.周期函数 解：A, B, D 三个选项都不一定满足。 设 ，则对任意 有)()(xfxFx)()() xFfxff 即 是偶函数，故选项 C 正确。)(x 函数 （ ） )1,0(a

23、fx A.是奇函数； B. 是偶函数； C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。 )(1)1()( xfaxaxxf 所以 B 正确。 若函数 ，则 （ ）2 )1(xxf )(f A. ； B. ；2 2 C. ； D. 。)1(x1x 解：因为 2)(222 所以 2)1()(xxf 则 ，故选项 B 正确。 2f 第二章 极限与连续 知道数列极限的“ N”定义；了解函数极限的描述性定义。 理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷 小量的比较。 无穷小量的运算性质主要有： 有限个无穷小量的代数和是无穷小量； 有限个无穷

24、小量的乘积是无穷小量； 无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。 熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子， 利用无穷小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。 求极限有几种典型的类型 （1） axax akkxkx 21)(limli 22020 （2） 100102 )(lili00bxx （3） mnbaxbxbaammnnx 0110li 熟练掌握两个重要极限： lisnx0 li()xx1e （或 li()xx01e ） 重要极限的一般形式： limsn()()x01 li()()(fxfxe （或 lim()(gxgx01e ） 利用两

25、个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极 限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如 31sinl31sinlm3sinl 000 xxxx 3122e)1(lim)1(2li12li)2(li xxxxxx 理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解 函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。 间断点的分类： 已知点 是的间断点，0x 若 在点 的左、右极限都存在，则 称为 的第一类间断点；)(f 0x)(f 若 在点 的左、右极限有一个不存在，则 称为 的第二类间断x0 x 点。 理解连续函数的和、差、积

26、、商（分母不为 0）及复合仍是连续函数，初等函数在 其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。 典型例题解析 一、填空题 极限 limsnx021 。 解： 01sinlm1il)sin1(lisinl 00020 xxxx xx 注意： （无穷小量乘以有界变量等于无穷小量） ilm0x ，其中 =1 是第一个重要极限。 1sinlsi1lsinl 000 xxx xsinlm0 函数 的间断点是 x 。 1si)(xxf 解：由 是分段函数， 是 的分段点，考虑函数在 处的连续性。)(f0)(f 0x 因为 1(lim1sinl00fxx 所以函数 在 处是间断的，)(f 又 在

27、 和 都是连续的，故函数 的间断点是 。x,),( )(xf0x 设 ，则 f 。23 2xf 解： ，故)(xf 20184)()2 2 xx 函数 的单调增加区间是 。)1ln( 2xy 二、单项选择题 函数 在点 处（ ） A.有定义且有极限； B.无定义但有极限； C.有定义但无极限； D.无定义且无极限 解： 在点 处没有定义，但)(xf （无穷小量 有界变量=无穷小量） 01sinlm0x 故选项 B 正确。 下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A. e 1x,() ； B. sin,()x ； C. ln(),()； D. x 10,() 解：无穷小量乘以有界变量仍为

28、无穷小量，所以 0silmx 而 A, C, D 三个选项中的极限都不为 0，故选项 B 正确。 三、计算应用题 计算下列极限： 124 3lim2xx xx)13(lim （4） 150)2(3lim)3(xx xx3sin1lm0 解： 6)( 242 =12 3li2xx 81lix 4313e)1(lim)31(li)3(lim)1(li xnxnxnxn 题目所给极限式分子的最高次项为 155102)(xx 分母的最高次项为 ，由此得 3812)(12lim150xx （4）当 时，分子、分母的极限均为 0，所以不能用极限的除法法则。求解 时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限

29、计算。 )1(3sin lm)1(3sin1lm3sin1l 000 xxxxx = 62lisli)1(silm000 xxxxx 2.设函数 0sin1)(xabxf 问（1） 为何值时， 在 处有极限存在？ba,)(xf （2） 为何值时， 在 处连续？0 解：（1）要 在 处有极限存在，即要 成立。)(xf )(lim)(li00xffxx 因为 bxxfx )1sin(lm)(li00 所以，当 时，有 成立，即 时，函数在 处有极1b )(lili0xffxx1b0x 限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时 可以取a 任意值。 （2）依函数连续的定义知，

30、函数在某点处连续的充要条件是 )(lim)(li 000 xffxfxx 于是有 ，即 时函数在 处连续。ab11b0x 第三章 导数与微分 导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点： 理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简 单函数的导数；知道可导与连续的关系。 在点 处可导是指极限)(xf0 illi00fx xffx)(lim00 存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限 0)(li0xfx 函数 在点 处的导数 的几何意义是曲线 上点)(f0)(0xf )(xfy 处切线的斜率。,(0x 曲线 )(fy在

31、点 )(,0xf处的切线方程为0x 函数 )(fy在 点可导，则在 0x点连续。反之则不然，函数 )(xfy在 0点连 续，在 0x点不一定可导。 了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。 熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法 （5）参数表示的函数的求导法 正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如 一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数 ，求 。x y2)1(y 在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。 如果我们把函数先进行变形，即

32、 212321)1( xxxy 再用导数的加法法则计算其导数，于是有 23213y 这样计算不但简单而且不易出错。 又例如函数 ，求 。32 1xyy 显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得 )ln()l(21ln 两端求导得 )2(3)1(xy 整理后便可得 )(6823xx 若函数由参数方程)(ty 的形式给出，则有导数公式 )(dtx 能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数 的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。 熟练掌握微分运算法则 微分四则运算法则与导数四则运算法则类似 vud)(dv )0

33、()(2v 一阶微分形式的不变性 uyxyuxdd 微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等 于函数的导数与自变量微分的乘积。 了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数。 函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一 阶导数。要求函数的 阶导数就要先求函数的 阶导数。n1n 第三章 导数与微分典型例题选解 一、填空题 设函数 在 邻近有定义，且 ，则 )(xf01)0(,)(ff xf)(lim0 。 解： )()(lim)(li00 fxfxf 故应填 1。 曲线 在点（1，1）处切线的斜率是 。x y 解：由导数的几何意义知，

34、曲线 在 处切线的斜率是 ，即为函数在)(xf0)(0xf 该点处的导数，于是 2 11,2233 xyy 故应填 。2 1 设 fx()45，则 fx() 。 解： ，故 3724)2()() xxxf 故应填 3742 二、单项选择题 设函数 ，则 （ ）。 2)(xf2)(lim2xfx A. ； B.2； C.4； D 不存在x2 解：因为 ，且 ， )2()(li2fxfx2)(xf 所以 ，即 C 正确。4)(xf 设 ，则 （ ）。 f1)(f A. ； B. ； C. ； D. xx 21x21x 解：先要求出 ，再求 。)(f)(f 因为 ，由此得 ，所以x f1xf1)(2

35、1)(xxf 即选项 D 正确。 3设函数 ，则 （ ）)2(1)(xxf )0(f A.0； B.1； C.2； D. 解：因为 ，其)1()2(1)2(1)(2)(1)( xxxxxf 中的三项当 时为 0，所以 )()(0f 故选项 C 正确。 4曲线 yxe在点（ ）处的切线斜率等于 0。 A. (,)01； B. (,)10； C. (,)1； D. (,)10 解： ，令 得 。而 ，故选项 C 正确。 xyeyxy 5 sin 2 ，则 （ ）。 A. cox； B. cosx2； C. 2xcos； D. 22xcos 解： 2)(sy 故选项 C 正确。 三、计算应用题 设

36、xysin2ta ，求 2 dxy 解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则 lcossin2xx 由此得 xyx d2)ln2cos2(di 设 ，其中 为可微函数，求 。 )(exf(fy 解 e) )()( xfffy = e )()( fffxfx = e)( )()( xf ff = ee )( fxxxf 求复合函数的导数时，要先搞清函数的复合构成，即复合函数是由哪些基本初等函数 复合而成的，特别要分清复合函数的复合层次，然后由外层开始，逐层使用复合函数 求导公式，一层一层求导，关键是不要遗漏，最后化简。 3.设函数 yx()由方程 yxeln 确定，求 dyx 。 解：方法一：等

37、式两端对 求导得2eyxy 整理得 xyxye22 方法二：由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得 左端 yxy y de)e(d)(d 右端 2lnxx 由此得 2ddeyxyx 整理得 xyxed22 4.设函数 ()由参数方程xty21 确定，求 dx 。 解：由参数求导法 txyt12d 5设 ，求 。xyarctn)(y 解 1arctn21)(t22 xx2arctnarctn( xy 第四章 导数的应用典型例题 一、填空题 1.函数 的单调增加区间是 .)1ln( 2xy 解： ，当 时 .故函数的单调增加区间是 .2 0y )0,( 2.极限 . x1lnim 解：由

38、洛必达法则 1li)1(lnili 11 xx 3.函数 的极小值点为 。 e2)xf 解： ，令 ，解得驻点 ，又 时， )(1)xxf 0)(f 0x ； 时， ，所以 是函数 的极小值0)(ff )e(21)xf 点。 二、单选题 1.函数 在区间 上是（ ）1 2xy2, A） 单调增加 B）单调减少 C）先单调增加再单调减少 D）先单调减少再单调增加 解：选择 D ，当 时， ；当 时， ；所以在区间 上xy200)(xf0)(xf 2, 函数 先单调减少再单调增加。1 2. 若函数 满足条件（ ），则在 内至少存在一点 ，使)(xfy ),(ba)(ba 得 abff)()( 成立

39、。 A）在 内连续； B）在 内可导；),( ),(ba C）在 内连续，在 内可导； D）在 内连续，在 内可导。ba),(ba),( 解：选择 D。 由拉格朗日定理条件，函数 在 内连续，在 内可导，所以选择 D)(xf,),(ba 正确。 3. 满足方程 的点是函数 的（ ）。0)(xf )(fy A）极值点 B）拐点 C）驻点 D）间断点 解：选择 C。 依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。 4.设函数 在 内连续， ，且 ，则函数在)(xf,ba),(0bax0)()(0xff 处（ ）。0 A）取得极大值 B）取得极小值 C）一定有拐点 D）可能有极值，也可能有拐点)(

40、,0xf 解：选择 D 函数的一阶导数为零，说明 可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零，说明0 可能是函数的拐点，所以选择 D。0x 三、解答题 1.计算题 求函数 的单调区间。)1ln(xy 解：函数 的定义区间为 ，由于)1ln(xy),1( x y 令 ，解得 ，这样可以将定义区间分成 和 两个区间来讨论。0yx )0,(), 当 时， ；当 是， 。10yxy 由此得出，函数 在 内单调递减，在 内单调增加。)1ln(x),( ),( 2.应用题 欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料 最省？ 解：设底边边长为 ，高为 ，所用材料为xhy 且 2

41、 2108,x hy4 2 22 43108xx 22 y 令 得 ，0y60)216( 3xx 且因为 ，所以 为最小值.此时 。,;,y108,y3h 于是以 6 米为底边长，3 米为高做长方体容器用料最省。 3证明题：当 时，证明不等式1x ex 证 设函数 ，因为 在 上连续可导，所以 在 上满足fln)()(f),0)(xf,1 拉格朗日中值定理条件，有公式可得 )1()1(xcfxf 其中 ，即xc1 )(ln 又由于 ，有1c 故有 1lnx 两边同时取以 为底的指数，有ee 即 x 所以当 时，有不等式1x ex 成立. 第 5 章学习辅导（2） 典型例题解析 一、填空题 曲线在任意一点处的切线斜率为 2x，且曲线过点 (,)25，则曲线方程为 。 解： ，即曲线方程为 。将点 代入得 ，所求曲cx 2dcy2),(1c 线方程为 12