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1、第二十一章 重积分,1 二重积分概念,教学内容：1.二重积分的定义 2.二重积分存在的条件 3.二重积分的性质,平面图形的面积,1.平面图形有界,2.平面图形的面积,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,平顶柱体体积=底面积高,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,求曲顶柱体的体积思想方法 以平代曲，以不变代变,求曲顶柱体的体积采用 “分割、代替、 求和、取极限”的方法，具体步骤如下：,(1)分割,把曲顶柱体的底任意分为n个小区域，,把曲顶柱体分为n个小曲顶柱体，,任选一个小曲
2、顶柱体,(2)代替,(3)求和,用n个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积,曲顶柱体的体积,(4)求极限,求平面薄片的质量,思想方法：以均匀代非均匀，以不变代变,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,分割、代替、求和、取极限,二、二重积分的概念,1.,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,2.对二重积分定义的说明：,(2) 二重积分定义的另一说法：,在上述极限中，要求对任意的分割及任意的介点 极限均存在且相等；,(3) 当已知二重积分存在，要求其值时，可以采用 特殊的分割，以方便计算；,3.二重积分的可积条件,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,则面积元素为,故二重积分可写为,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,4.二重积分的几何意义,即：当被积函数等于1时，二重积分就是底D的面积,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,运算上的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,