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1、,定积分的概念,探究思考,问题1：你能求出下面图像的面积吗？,问题2：第三幅图的面积应该怎么求呢？,1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。,O,x,y,y=f (x),一. 求曲边梯形的面积,x=a,x=b,因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围“内以直代曲” ）,放大,再放大,“以直代曲,无限逼近 ”的数学思想,y = f(x),用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得,A A1+ A2+ A3+ A4,用四
2、个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得,A A1+ A2 + + An,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为, 以直代曲,无限逼近,2曲边梯形的面积,求曲边梯形的面积即 求 下的面积, 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。,若“梯形” 很窄， 可近似地用矩形面积代替,在不很窄时怎么办？, 以直代曲,例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。,解析:把底边0,1分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近
3、似值，再取其极限值。,探究思考,把区间0，1等分成n个小区间：,过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作,分割：,近似代替：,如图，当n很大时，即x很小时，在区间 上可以认为函数 的值变化很小.,把曲边梯形分成n个小曲边梯形面积记做 .用小矩形的面积 近似地替代 即局部小范围内“以直代曲”.,则阴影部分面积,求和：,得到S（曲边梯形面积）的近似值：,取极限：,当n趋向于无穷大，即 趋向于0时， 趋向于S.从而有,分割,以曲代直,作和,逼近,例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。,解把底边0,1分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲
4、边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:,因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面积为:,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)取近似求和:任取xixi-1, xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积 f(xi)Dx近似之。,(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为,取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,xi,xi+1,xi,(1)分割:在区间0,1上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: 每个小区间宽度x,引入,如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为 (t的单位：h，v的
5、单位：km/h)，那么它在 这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？,求变速直线运动的路程,探究思考,结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s和由直线t=0，t=1,v=0和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？,分割：,在时间区间0,1上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成n个小区间：,记第i个区间为 ，其长度为：,近似代替：,当n很大，即 很小时，在区间 上，函数 的变化值很小，近似地等于一个常数.,从物理意义上看，就是汽车在时间段 上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 处的速度作匀速行驶.,在区间 上，近似地认为速度为 即在局部小范围内 “以匀速代变速”.,由近似代替求
6、得：,求和：,取极限：,当n趋向于无穷大，即 趋向于0时， 趋向于s，从而有,结论,从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过程可知，它们都可以通过“四步曲”：分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限.,曲边梯形面积,变速直线运动路程,复习,一、定积分的概念,概念,定积分的定义：,定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。,按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯
7、形的面积为,(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为,定积分的定义：,1,正确理解定积分的概念,（3）.规定：,二、定积分的几何意义：,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，,=-S,上述曲边梯形面积的负值。,=-S,探究,根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积吗？,探究,三: 定积分的基本性质,性质1.,性质2.,定积分关于积分区间具有可加性,性质3.,性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有,在区间0,1上等间隔地插入n-1个分点，
8、把区间0,1等分成n个小区间 每个小区间的长度为,(1)分割,例题,（2）近似代替，作和,（3）取极限,以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:,我们称它为函数y=f(x),在x=x0处的导数，记作f (x0)或y|xx0即,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,回顾,再观察-直线和P附近的曲
9、线的贴近程度！,在点P附近，曲线f (x)可以用在点P处的切线PT近似代替 。,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.,导数的几何意义,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.,即:,
10、故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,（1）求出函数在点x0处的变化率 ， 得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程， 即,求切线方程的步骤：,例: 高台跳水运动中， 秒 时运动员相 对于水面的高度是 （单位： ），求运动员在 时的瞬时 速度，并解释此时的运动状态;在 呢?,同理，,运动员在 时的瞬时速度为 ，,上升,下落,这说明运动员在 附近，正以大约 的速率 。,1.在函数 的 图像上，(1)用图形来体现导数 ， 的几何意义.,(2)请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以
11、及增（减）快慢的情况。 在 附近呢？,(2)请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在 附近呢？,增（减):,增（减）快慢：,=切线的斜率,附近：,瞬时,变化率,（正或负）,即：瞬时变化率（导数）,（数形结合，以直代曲）,画切线,即：导数,的绝对值的大小,=切线斜率的绝对值的 大小,切线的倾斜程度 （陡峭程度）,以简单对象刻画复杂的对象,(2) 曲线在 时，切线平行于x轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降,曲线在 处切线 的斜率 0 在 附近，曲线 ，函数在 附近单调,如图，切线 的倾斜程度大于切线 的 倾斜程度，,大于,上升,递增,上升,这说明曲线在 附近比在 附近 得迅速,递减,下降,小于,下降,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,函数导函数,由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,小结： .函数 在 处的导数 的几何意义，就是函数 的图像在点 处的切线AD的斜率（数形结合）,切线 AD的斜率,3.导函数(简称导数),2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学 思想方法。,以简单对象刻画复杂的对象,