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1、第四节 向量组的秩和矩阵的秩,一、向量组的秩,定义3.8,设有两个向量组,如果向量组()的每一个向量 都可以由 向量组()表出，则称向量组()可由向量组()线性表出 (线性表示)；,如果向量组() 和()可以相互线性表出，则称向量组 ()和()等价，记作 或,例1,设向量组,不难看出：,即向量组() 可以由向量组()线性表出。,由此又可解出,即向量组()可由向量组 ()线性表出。,于是向量组()和()等价。,考虑向量组,则向量组() 可由向量组()线性表示：,故向量组()不能由向量组 ()线性表示。,于是向量组()、 ()不等价。,但向量 不能由 线性表示。,向量组等价具有下述性质：,(1)
2、反身性,任一向量组和它自身等价，即,(2) 对称性,如果,则,(3) 传递性,如果,则,而,定理3.7,如果向量组 可由向量组 线性表示， 并且st，则向量组 线性相关。,推论,如果向量组 线性无关，并且可以由向量组 线性表示，则,二、极大线性无关组和向量组的秩,定义3.9,如果向量组 的一个部分组 满足,(1) 线性无关；,(2) 向量组中的任意一个向量都可以由 线性表示，,则部分组 称为此 向量组的一个极大线性无关 组，简称极大无关组。,(2) 任意向量组 中的一个向量 添到部分组 中，则 线性无关。,例2,设向量组,不难看出，部分组 是线性无关的，且 中的任一 向量都可以由此部分组线性表
3、示：,所以部分组 是向量组 的一个极大无关组。,例3,设向量组 线性无关，其极大无关组就是自身。,如果一个向量组仅含零向量，则该向量组不存在极大无关组。,定理3.8,任一向量组和它的极大无关组等价。,推论1,向量组 中任意两个极大线性无关组等价。,推论2,两个等价的线性无关的向量组所包含的向量的个数相同。,推论3,向量组 的任意两个极大无关组所包含向量 的个数相同。,定义3.10,向量组 的极大无关组中所包含向量的个数， 称为次向量组的秩，记作,若一个向量组仅含零向量，规定其秩为零。,例4,对于例2中的向量组 有,例5,则仅含 的向量组必线性无关，其极大无关组就是其 本身，所以,设向量,定理3
4、.9,则它们的秩相等。,如果向量组 与向量组 等价，,定理3.10,如果向量组 可由向量组 线性 表示，且 ，则,三、矩阵的秩,定义3.11,在mn矩阵 中任取k行、k列 位于这些行、列交叉处的k2个元素按原来的相应位置构 成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。,例6,在矩阵 中,若取定A的第1行和第2列，交叉处元素可构成一阶子式,若取定第1行、第2行，再取定第2列、第4列，可构成二 阶子式,在例6中，已求得一个二阶子式不等于零。由于A的第 三行为零行，所以A的任意三阶子式都等于零，所以r (A)=2.,定义3.12,设 ，A中不等于零的子式的最高阶数r称为矩 阵A的秩，记作(A)=r
5、或r (A)=r，即A中存在一个r阶子式不等 于零，而所有r+1阶子式都等于零时， r (A)=r.,对于零矩阵 它的任一子式都等于零。规定r (O)=0.,例7,注意到例6中，矩阵A是一个阶梯形矩阵，A的秩恰等于 它的非零行的行数，一般，这一结论也是正确的。,矩阵 的秩有下述性质：,特别地，当r (A)=m时，称A为行满秩矩阵；当r (A)=n时， 称A为列满秩矩阵。,当 时，称矩阵 A为满秩矩阵。,定理3.11,矩阵经初等行变换后，其秩不变。,例9,设矩阵,求A的秩。,解,对A施以初等行变换，化为阶梯形矩阵：,由最后一个矩阵，有三阶子阵,而所有四阶子阵都等于0，得r (A)=3.,如果继续
6、对A施以初等列变换，A就可以化为等价标准形,同样得到r (A)=3.,由定理3.11，得,推论,设A为mn矩阵， 其中 均为可逆矩阵，,则,定理3.12,设A, B均为mn矩阵，,则矩阵A, B等价充分必要条件是,四、矩阵的秩与向量组的秩的关系,设矩阵 如果A按行分块为,则向量组 的秩称为矩阵A的行秩。,如果A按列分块为 ，,其中,则列向量组 的秩称为矩阵A的列秩。,定理3.13,矩阵 的秩等于A的秩。,推论,矩阵的行秩和列秩相等，都等于矩阵的秩。,例10,已知向量组,试求向量组 的一个极大无关组，并把其余 向量用此极大无关组线性表示。,解,把向量 看作一个矩阵的行向量组，得矩阵,对A仅施以初
7、等行变换，并在矩阵右侧标注所作的变换， 把A化为阶梯形矩阵：,由最后的阶梯形矩阵，得r (A)=3。,因此向量组 的秩也是3。,由阶梯形矩阵的最后一行，得,由此可知,于是向量组 可以由向量组 线性表示。,因此,所以,即 就是与原向量的一个极大线性方程组，且,例11,设A, B均为mn矩阵，证明：,证,设矩阵 A, B的列向量组分别为,则,要证,只需证,设向量 的一个极大无关组为,向量组 的一个极大无关组为,向量组 的一个极大无关组为,可由向量组 线性表示；,因此可得,即,例12,证明,证,设矩阵,把矩阵A和C按列分块为,其中 是矩阵A的第j列， 是矩阵C的第j列。,所以,则 可以写为,这相当于 的列向量组 可以由A的列向量组 线性表示。,根据定理3.10,可得,同时，由于,利用上面的结果，又有,所以,利用同样的方法，可以证明,