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1、第四讲 大洋环流模式设计初步,张学洪 (),引言: 模式设计过程 基本近似, 方程组和边界条件 海表高度预报方程, 表面重力波 C-F-L条件，计算稳定性 “刚盖”近似, B-C-S模式 自由面模式, 模态分解算法 耗散和频散，典型差分方案,主 要 内 容,海表高度预报方程 和 表面重力波,年平均海表高度 (LICOM1.0, cm),连续性方程垂直边界条件的提法,求解垂直速度要求自由表面.,z0(x,y,t),z=0,z=-H,海表高度 z0 的预报方程,正压流的辐合辐散决定海表的升降,正压流方程的推导,u-动量方程右端项的分析,SSH, T, u, averaged over 120-15
2、0W (LICOM),压力梯度的两个分量,压力的 external / internal 分量,z=0,z=z0(x,y,t),典型重力波过程,海表起伏对正压流的贡献,表面重力波正压速度和海表压力的相互调整,z0,表面波 (External gravity waves), 缓慢变化的海表高度 快速传播的表面波？ 表面波的计算问题？,问 题,对正压模态方程组的分析,纯粹的 正压模态,斜压对正压模态的贡献,垂直积分流 U 满足的方程,已略：水平平流和粘性，底摩擦., 在Boussinesq近似下, 海表高度的变化由体积守恒决定. 海表高度的大尺度分布取决于风应力和斜压压力梯度. 表面重力波和地转调
3、整.,小 结,练习题. 证明恒等式 ：,(F = u, v, T, . . .),并推导正压流方程 (4.25)-(4.28).,垂直积分流严格满足的方程,其中X,Y只依赖于平流和水平湍流粘性.,Courant-Friedrichs-Lewy 条件 差分格式的计算稳定性,模型问题: 一维行波方程,一般的波动方程,西传的重力波 非频散Rossby波 基流输运过程,一维波动方程解的dAlembert 公式,x,t,0,A,x+ct=const,B,xj,tn,不收敛的格式 (downstream),j,j-1,j+1,n+1,n,xj,tn,不收敛的迎风 (upstream)格式,j,j-1,j+
4、1,n+1,n,xi,tn,收敛的迎风格式 和 CFL 条件,j,j-1,j+1,n+1,n,差分方程解的依赖区域,Courant-Friedrichs-Lewy条件,保证了迎风格式解的依赖区间包含微分方程解的依赖区间, 这是近似解收敛的必要条件.,迎风格式的稳定性分析,1,0,1,f,对迎风格式而言, CFL条件,也是计算稳定性条件, 它表明:时间步长要受到波速和空间网格距的限制.,Rigid-lid 近似 Bryan-Cox-Semtner 模式,Velocities of physical phenomena which may limit the time step of a nume
5、rical integration in an atmospheric or ocean model in units of ms-1.,From Bryan (1984),计算稳定性条件, x = 50 km,Bryan, K., 1969: A numerical method for the study of the circulation of the World Ocean. J. Comp. Phys., 4, 347-376. (rigid-lid模式),Crowley, W.P., 1968: A Global numerical ocean model: Part I, J.
6、 Comp. Phys., 3, 111-147. (free-surface模式),两篇海洋模式设计的论文,海表高度 z0 的预报方程,刚盖近似正压流无辐散.,= 0,U, V : 垂直积分流速(正压流),Vertical displacements of the ocean surface are not allowed. This constraint is called the rigid-lid approximation. (Bryan,1969),垂直积分流速U满足的方程,其中X只依赖于平流和水平湍流粘性.,正压无辐散流可以用流函数表示,正压流函数的预报方程,椭圆型算子,风应力强
7、迫下的正压涡度方程,假定: 1. H=const 是无运动深度; 2. 平流项和水平湍流项可略,Sverdrup balance,为什么rigid-lid模式较早获得成功？ 滤去了表面波，模式只包含慢过程，可用大时间步长积分，计算量较小 ; 虽然要求解关于正压流函数倾向的椭圆型方程，但早在1960年代椭圆型方程的迭代解法已经比较成熟.,L4, 4X5 (1989),L20, 4X5 (1994),L30,T63 (1999),LICOM (2004),LASG,Semtner (1997),POP,MOM,“刚盖”近似模式的局限性 不能直接预报海表高度, 因而不适用于海表高度资料的同化; 滤去
8、了表面重力波，不适用于潮汐研究. 有必要发展自由面模式.,自由面模式 和 模态分解算法, 将表面波模态(external mode)从模式中分离出来, 用小步长积分; 对描写垂直结构的模态(internal mode)用大步长积分; 正确描写两种模态的相互作用.,如何减少自由面模式计算量？,流速的斜压和正压分量,U , V external mode 的速度场.,垂直积分流 U 满足的方程,缓变强迫项,对正压模态方程组的分析,它们的贡献可以在一定时段内保持不变！,两种处理表面波方法的比较,Blumburg, A.F., and G.L. Mellor, 1987: A description
9、of a three-dimensional coastal ocean circulation model (POM). 刘海龙等：LICOM1.0用户手册,模态分解算法的参考资料,差分格式的耗散和频散 (dissipation / dispersion),典型差分方案简介,迎风格式的单调性和强耗散性,un,un+1,xi,j-2,j-1,j+1,j+2,j,单调：极值点个数不增.,单调性的充要条件,单调(无频散)是保形的一个方面,高精度格式的频散效应,Lax-Wendroff 格式(二阶精度, 低耗散 ),Lax-Wendroff 格式不是单调格式, 满足Courant条件的迎风格式是稳定
10、和正定的,但耗散太强； Lax-Wendroff 格式具有二阶精度，耗散很小,但频散太强； 推测:上述两种格式的适当组合可以构成高精度的保形格式.,小 结, 先用Lax-Wendroff 格式积分一步得到 试探解, 用于检测出单调性有可能被破坏的格点； 正式积分时, 在那些被检测出来的格点上改用迎风格式. 两种格式混合使用, 扬长避短.,两步保形方案的要点：,宇如聪, 1994: A Two-Step Shape-Preserving Advection Scheme Adv. Atmos. Sci., 11, 479-490.,对两步保形平流格式的检验（Yu, R.-C., 1994）,初值
11、,“迎风差分”,Lax-Wendroff,TSPAS,after 10 cycles,克服高精度格式频散效应的其他方法举例: Leap-frog格式+时间滤波,第四讲的回顾,大洋环流模式是建立在什么基础之上的？ 波动过程, 特别是和海表高度变化有关的表面重力波. 迎风格式和波动过程差分格式的基本问题.,我们了解了那些模式原理？,刚盖近似模式和自由面模式大洋环流模式的历史. 差分格式设计追求的主要目标之一低耗散、弱频散. 对常用的海洋模式 (如MOM) 的原理有所了解., Equations of the model* Arrangement of variables General method of finite differencing,Bryan (1969) 的设计要点,*其中包括rigid-lid近似.,差分方法:用有限的格点系统逼近连续系统,0,180,360,赤道,南极,北极,B-Grid,Kirk Bryan,GFDL 模式的主要研究者 K. Bryan M. Cox A. Semtner R. Pacanowski S. Griffies,Bryan-Cox-Semtner model,MOM,2004年12月26日印度洋海啸,http:/en.wikipedia.org/wiki/Tsunami,