结构力学静定结构位移计算.ppt

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1、静定结构的位移计算 Displacement of Statically Determinate Structures,变形：结构形状的改变。,CC线位移 角位移（转角）,1 概述,位移：结构上某点位置的移动和截面转动。,一、变形和位移,线位移： CC竖直位移 CC水平位移,根据产生位移的原因，位移可分为：,刚体位移 变形体位移,1. 荷载作用,2. 温度变化（材料胀缩）,3. 支座沉降与制造误差,还有什么原 因会使结构产 生位移?,二、产生位移的原因,静定多跨梁的支座A 有一给定位移CA，,刚体位移： 有位移无应变,刚体位移,简支梁在载荷q作用下， 各点产生线位移；同时 梁内弯矩M产生的曲率

2、k （曲率半径 ） 和应变e。,变形体位移： 有位移有应变,变形体位移,根据产生位移的原因，位移可分为：,刚体位移 变形体位移,1. 荷载作用,2. 温度变化（材料胀缩）,3. 支座沉降与制造误差,哪些是刚体位移？哪些是变形体位移?,二、产生位移的原因,1. 验算结构的刚度。,2. 位移计算是超静定结构计算的基础。,3. 在结构的动力和稳定计算中也要用到结构的位移。,4. 在结构的制作、架设、养护等过程中，也往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施。,为什么要 计算位移?,三、结构位移计算的目的,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,高层建筑的最大位移 1/1000 高

3、度。最大层间位移 1/800 层高。,基础设计规范规定：设计等级为甲级、乙级的建筑物，均应按地基变形设计。,1. 方法：,2. 基本假设：,（1）几何方法,（2）虚功法,功=力位移,位移=功/力,四、结构位移计算的方法和基本假设,（3）理想联结 (Ideal Constraint),叠加原理适用（principle of superposition),(1) 线弹性 (Linear Elastic),(2) 小变形 (Small Deformation),（一）功 (Work),1.功的含义：力沿着作用线移动一段距离,五、虚功原理(Principle of Virtual Work),变力做功

4、,2.常力做功和变力做功,1)作虚功的力系为一个集中力,2)作虚功的力系为一个集中力偶,4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶,3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力,3.广义力(Generalized force)对广义位移(Generalized displacement)做功,（二）实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work),图（a）中P1所作的功为：,图（b）中P2所作的功为：,图（c）中先作用P1，此时P1所作的功为：,再作用P2，此时P2所作的功为：,P1 在加P2过程中也做功，此时P1继续作功为：,虚功,外力作用下的总功：,虚位移,实功,第一个下标表示位

5、移的地点和方向 第二个下标表示产生位移的原因,实功和虚功的区别：,（1）实功是力在自身所引起的位移上所做的功；虚功是力在其它原因所引起的位移上所做的功。虚功并不是不做功，而是强调做功的力与产生位移的原因无关这一特点。,虚位移应满足的条件：,虚位移应当是微小的； 虚位移必须是变形可能的，即位移函数是连续的。,（2）实功是变力做功，计算式中有系数1/2；虚功是常力做功，计算式中 没有系数1/2。（对上例）,（3）实功恒为正，虚功可正可负。,注意： （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关；,力状态,位移状态,1 质

6、点系的虚功原理,具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：,对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。,（三）虚功原理,2 刚体的虚功原理,3 变形体的虚功原理,（一）原理：,x,y,2 刚体虚功原理及其应用,刚体在外力作用下处于平衡状态的充要条件是：对于任意给定的虚位移，外力虚功之和为零。,一、刚体虚功原理,1.若力系平衡,2.若T=0，既然虚位移是任意给定的,刚体在外力作用下处于平衡状态的充要条件是：对于任意给定的虚位移，外力虚功之和为零。,（二）虚功原理的两种实用型式,1、虚位移原理,特点：受力真实，位移虚设。,用途：用以计算真实受力状态下的未知力，与

7、平衡方程等效。,由虚功原理,2、虚力原理,特点：位移真实，受力状态虚设。,用途：用以求解真实位移状态中的待求位移。,二、静定结构由支座移动引起的位移计算,（一）支座移动对静定结构的影响,刚体位移： 有位移无应变,变形体位移： 有位移有应变,求K点的竖向位移,（二）基本公式,虚设力的方法： 1、虚设力P的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的方向一致； 2、虚设力P的大小等于单位1，并称这样的力为单位力。,实际位移状态,虚设的力状态,Ri的正向与Ci的正向一致,虚功原理：T=0,它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出， 故也称为Maxwell-Mohr Method,

8、单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method),截面转角,相对线位移,相对转角,（三）计算步骤:,求单位力作用下的支反力,利用公式求位移,根据拟求位移作单位力状态,=-（-1/2*）=/2,例：图示多跨静定梁支座发生沉陷a，求截面的竖向位移DEV和铰两侧截面的相对转角 。,（2）求单位力作用下的支反力,（3）利用公式求位移,解：1、求截面的竖向位移,（1）根据拟求位移作单位力状态,2、铰两侧截面的相对转角,(),1、结构的两种状态：,2、第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，称为外力虚功，记为T12,3、第一状态的内力在第二状态的变形上所作的虚功，称为内力虚功，记为W12,

9、M、Q、N,3 变形体系虚功原理及结构位移计算一般公式,一、基本概念,第一状态（受力状态） 第二状态（位移状态）,相对转角,相对轴向位移,相对剪切位移,dx,（1）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关。,（2）第一状态要求平衡（内力并不一定是真实的） 第二状态要求虚位移条件,说明：,（4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。,（3）变形体虚功原理是变形体力学的普遍原理。,二、变形体系的虚功原理,变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是： 对于任意给定的虚位移，外力虚功等于内力虚功 即 T12W12,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚

10、位移上所作的总虚功We,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。,变形体虚功原理的证明:,1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWe+dWn,所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We,2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWg+dWi,所有微段的外力功之和: W=dWi =Wi,故有We=Wi成立。,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。,变形体虚功原理的证明:,

11、1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWe+dWn,所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We,2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWg+dWi,所有微段的外力功之和: W=dWi =Wi,故有We=Wi成立。,几个问题:,1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题。,2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构。,3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 将平衡问题化

12、为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解。,Wi 的计算:,Wi =N+Q+Mds,微段外力:,微段变形可看成由如下几部分组成:,变形体虚功方程的展开式,对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:,We =N+Q+Mds,1、虚位移原理,特点：受力真实，位移虚设。,2、虚力原理,特点：位移真实，受力状态虚设。,用途：用以计算真实受力状态下的未知力，与平衡方程等效。,用途：用以求解真实位移状态中的待求位移。,变形体虚功原理的两种实用型式,求如图所示刚架B点的水平位移,由虚功方程：TW 可知,三、结构位移计算 的一般公式,实际位移状态,虚设的力状态,

13、虚设力的方法： 1、虚设力P的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的方向一致； 2、虚设力P的大小等于单位1，并称这样的力为单位力。,（1）刚体虚功位移计算公式是变形体位移计算公式的特例。,（2）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关。,说明：,（3）变形体位移计算公式是结构位移计算的一般公式。,一般公式的普遍性表现在：,2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构； 静定和超静定结构；,1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；,3. 材料性质：线性、非线性；,4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；,5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。,位移计

14、算的一般公式 (General Formula of Displacements),位移计算一般公式：,无支座位移：,而：,4 静定结构在荷载作用下的位移计算,位移计算的一般公式 (General Formula of Displacements),一、荷载作用下位移计算公式,1.EI、EA、GA分别表示杆件截面的抗弯、抗拉、抗剪刚度。,3.公式中的2套内力。,5.dx对于直杆适用，如是曲杆改为ds。,6.等号右边各项的乘积代表虚设单位力引起的内力的各个分量在实际荷载引起的相应变形上所做的虚功。,7.适用范围：线弹性问题。,8.三项的影响，右边三项分别表示弯曲变形、剪切变形、拉伸变形的影响。,

15、2.截面形状系数。如：对矩形截面 =6/5;圆形截面 =10/9。,4.弯矩项乘积的正负号规定：使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。,1.根据拟求位移做单位力状态。,2.分别求两种状态的内力。,（1）荷载作用下内力计算。,（2）单位力作用下内力计算。,3.代入公式计算。,单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method),二、荷载作用下位移计算步骤,（一）桁架的位移计算,桁架在荷载作用下各杆的内力只有轴力,三、荷载作用下实用位移计算公式,例：求如图所示桁架下弦中点D的竖向位移，P=20kN，E210kN/cm3， l=8m， A 上弦=2000mm2， A下弦=400mm2， A腹=

16、200mm2。,解：1.根据拟求位移做单位力状态（图b）。,2.求两种状态的内力。,3.代入公式计算。,不要“丢三落四”！,不要“张冠李戴”！,（二）梁、刚架的位移计算,对于梁及刚架，Q和N对的影响很小，因此，上式可简化为：,例 ：求刚架A点的竖向位移。,实际位移状态,虚设的力状态,+,+,荷载内力图,单位内力图,设杆件截面为 bh 的矩形截面杆，有：,取： ， ，有,E/G的取值范围是多少？,对受弯细长杆件,通常略去Q, N的影响。,讨论,与细长比有关！,（三）拱的位移计算,对一般拱结构的位移计算不考虑剪切、轴向变形的影响，取：,对扁平拱、接近合理拱轴线的拱，应考虑轴向变形的影响：,（四）组

17、合结构的位移计算,组合结构受力特点：,1）一部分构件在荷载作用下受弯为主(梁式杆) 2）另一部分构件只受轴力(轴力杆),位移计算公式：,梁和刚架：,（一）问题的提出,5 图乘法及其应用 (Graphic Multiplication Method and its Applications),一、概述,图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。,（二）适用条件,1. 结构的每根构件均为直杆,2. 各构件EI分别为常数或分段为常数,（二）基本思想,图乘法的 适用条件是 什么?,二、图乘公式,图乘公式,1.图乘法的适用条件。,2.、yc必须分别取自两个图形

18、。,3.yc必须取自直线图形，其位置与另一图形（取面积的图形）的形心对应。,4.符号规定： 与yc位于杆轴同侧时，该段乘积为正。可简称为“同侧相乘为正”。（规定M图画受拉侧）,公式说明,1.根据拟求位移做单位力状态。,2.内力计算。,（1）荷载作用下内力图MP。,（2）单位力作用下内力图。,3.图乘求位移。,三、图乘法计算位移的一般步骤,验算,h,四、常见M图的面积和形心位置,例1：求B端的转角。,1.根据拟求位移做单位力状态。,2.内力计算。,（1）荷载作用下内力图MP。,（2）单位力作用下内力图。,3.图乘求位移。,解:,若两个弯矩图都是直线图形， 则纵坐标yc可取任一图形。,例2：求跨中

19、C点的竖向位移,1.根据拟求位移做单位力状态。,2.内力计算。,（1）荷载作用下内力图MP。,（2）单位力作用下内力图。,3.图乘求位移。,解:,对吗？,应分段！,若图形较复杂，面积或形心不 便确定，可分解为简单图形。,1.根据拟求位移做单位力状态。,2.内力计算。,（1）荷载作用下内力图MP。,（2）单位力作用下内力图。,3.图乘求位移。,解:,例4：求C点的水平位移,若各段EI不同， 则分段图乘。,PH1,H1,1.当两图均为直线时，yc不受限。,2.若一图是曲线，另一图是折线，应分段图乘。,3.若图形较复杂，形心不便确定，可将其分解为简单图形。,4.若杆各段EI不同，应分段图乘。,5.虚

20、设单位力。,求线位移集中力,求角位移集中力偶,求相对位移一对力,五、图乘规律,练习、 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 。,MP,解：,练习 、 图示梁EI 为常数，求中点C的竖向位移。,请问： 错在啥地方？,请问： 错在啥地方？,解法一,解法二,温度变化引起的静定结构位移计算,温度变化不产生内力，材料只膨胀或收缩，不产生剪应变。,6 温度变化引起的静定结构位移计算(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes),一、温度变化对静定结构的

21、影响,基本假设：,1）结构材料是温度线性材料，即满足：,t温度改变量 温度系数，温度每升高1摄氏度所引起的材料的线应变。,2）若构件两侧温度不相同时，认为温度沿截面是线性变化的；,3）沿构件长度方向温度变化规律相同。,二、公式推导,形心轴处的温度改变量为：,形心轴处的线位移为：,ds段两端截面相对转动角度：,基本假设3,图面积,图面积,注意问题：正负号规定,1.根据拟求位移作单位力状态。,2.内力计算。单位力作用下结构的弯矩图和轴力图,3.利用公式求位移。（注意正负号的判断）,1.正负号规则,2.t、t的计算,公式说明,温度变形引起的形心轴处的伸缩性与轴力引起构件的伸缩性一致时取正号。 或温度

22、以升高为正，轴力以拉为正。,温度变形引起的伸长侧与弯矩引起构件的受拉侧一致时取正号。,三、计算步骤,例： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角.,解：1.根据拟求位移作单位力状态。,2.内力计算。单位力作用下结构的轴力图,3.利用公式求位移。（注意正负号的判断）,例：试求下图，a所示刚架C点的水平位移 。已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上 升10C，刚架各杆的截面相同且与形心轴对称，线膨胀系数为。,解： 1、根据拟求位移作单位力状态。,2、内力计算：作出相应的 、 图。,3、利用公式求位移。（注意正负号的判断）,1、加工制造误差：一般是指构件的真实长度与设计长度存在差值。,式中：l为实际杆长

23、，l为设计杆长。,2、装配误差主要有如下两种形式,图中：为轴线对位误差，为角度装配误差。,四、加工制造和装配误差的影响,如何计算?,3、由加工装配误差引起的静定结构位移计算公式,正负号选取原则：,1） 为拉力且 0时，或 为压力且 0时第一项为正，否则为负；,2）当 的错位方向与轴线错位方向一致时，第二项取正号，否则为负；,3）杆端弯矩 与角度装配误差方向一致时，第三项取正号，否则为负。,例：图示简支刚架，AB杆较设计长度短2cm，AB杆与BC实际夹角较设计角度小0.05rad，求结构装配后C点离开设计位置的水平距离。,单位力作用下：,7 线弹性结构的互等定理 （Reciprocal Theo

24、ry in Linear Structures),一、 功的互等定理（Reciprocal Theory of Work),在线性弹性体系中，第I状态的外力在第II状态位移上所做的外力虚功，恒等于第II状态外力在第I状态位移上所做的外力虚功。,第 I 状态,第一个下标表示位移的地点和方向 第二个下标表示产生位移的原因,2,1,先加广义力P1，后加广义力P2。,先加广义力P2，后加广义力P1。,由,功的互等定理,方法一,方法二,功的互等定理,虚功原理,第 I 状态,M1 Q1 N1,M2 Q2 N2,功的互等定理,说 明,1、力和位移可以是任意的广义力和相应的广义位移。,2、适用条件：（1）线弹

25、性结构；（2）小变形。,3、功的互等定理是基本定理，其他互等定理可由它直接导出。,二、位移互等定理（Reciprocal Theory of Displacement),第 I 状态,由单位力P2=1引起，在单位力P1作用处沿P1方向的位移12 ， 恒等于由单位力P1=1引起，在单位力P2作用处沿P2方向的位 移21。,=1,=1,位移互等定理,1. 单位力是量纲唯一的量；,3. 互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。,说明,2. 力可以不是同一类型，可以是力、力偶，位移为线位移和转角；,数值、量纲都相同吗？,真实的力角度（无量纲）,单位力121（B）,12（B）=力-1,真实的力偶（力.长度)

26、线位移（长度）,单位力112（fC）,12（fC）=力-1,数值量纲均相同,由功的互等定理,三、 反力互等定理（Reciprocal Theory of Force),由于支座 1 发生单位广义位移引起的 2 支座中的反力，恒等于支座 2 发生单位广义位移引起的 1 支座中的反力。,反力互等定理,数值、量纲都相同吗?,反力互等定理对于 静定结构成立吗?,0=0,问题：如何建立方程，如何叙述定理？,单位广义力引起的结构中某支座的反力，等于该支座发生单位广义位移时引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。,四、反力位移互等定理（Reciprocal Theory of Force and Displacement),问题：以简支梁跨中受竖 向单位集中力为例，说明 反力位移互等定理。,注意： 与 P 力方向相反。,重 点,难 点,要 点,还有什么原 因会使结构产 生位移?,还有什么原 因会使结构产 生位移?,三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关，而且与拱轴线的形状有关。,超静定拱,在竖向荷载作用,