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1、动态优化,熊和平 武汉大学经济与管理学院,0、导言,动态优化问题是静态问题的延伸，在许多经济问题如增长理论、资产定价理论中都有广泛的应用。 “动态经济学方法对于一个立志进行经济学、金融学研究的人来讲是至关重要的。”,教材与参考书,Kamien & Schwartz的Dynamic Optimization :The Calculus of Variations and Optimal Control 龚六堂、苗建军动态经济学方法北京大学出版社，2012 Ljungqvist & Sargent递归宏观经济理论,1、引言,学习目的： 掌握动态优化的基本方法：主要是古典变分法和最优控制理论； 学习
2、建模方法：通过例子学习将实际问题数学化处理的方法。 学习要求： 勤于动手，多作练习 尽量对阅读有关书籍，同时补充和复习静态优化问题知识。 力争利用所学知识阅读金融类原文文献。,A、问题与例子,本章的主要目的是介绍动态优化的含义，为此，我们将它与经典的优化问题进行比较。同时，也强调两者的联系。我们简单地回顾该领域发展历史和一些经典的例子。,一、什么是动态优化问题？ 所谓动态问题是这样一类问题，该问题往往涉及不同时期的不同状态，而且不同时期的状态可能对其后某些时期的结果产生影响。与动态问题相对应的是静态问题，静态情形下往往只涉及当其，不同时期的状态对其后的结果不会产生影响。静态优化问题是古典的优化
3、问题，而动态优化问题则是研究动态情形下的优化问题。,（一）静态问题（static problem）,静态问题的目标是寻找一个最优的数或有限的数集，该数或数集使得目标函数的值最（极）大或最（极）小 。例如： 1、单期单变量问题： 公司确定其产出水平x ，使利润F(x) 极大化， x 为生产水平，在简单情形下认为公司的销售量亦为 ：,这是一个简单的单期单变量优化问题。该问题的目标是找到一个数x ，若F(x) 具有特殊的函数形式，则 x可以被确定，否则只能由F(x) 来描述x 的特征；若F(x)连续可微，则有:, 2、单期多变量问题： 若公司生产多个产品，则上述问题为单期多变量优化问题：, 3、多期
4、单变量问题离散情形： 若考虑多期问题，则离散情形下为：,其中 为 t期产量为 xt时的利润，其最优解为 。该问题涉及多期问题，但是，因为每一期的利润仅仅取决于当期的产出，因此上述问题可以化归为一序列的单期问题，仍然属于静态问题，每一期只需要选择一定的产出水平以极大化当期的利润。, 4、多期单变量问题连续情形： 若上述多期问题中，考虑的是每时每刻的产量刻利润，则问题转化为： 该问题的最优解是函数 x(t)，它是计划期间每一时点公司的最优产出率，即生产速度,我们还可以写出多变量的多期问题：,(5b),（二）动态问题dynamic problem,动态问题的目标是寻找一个函数，该函数描述的是随着时间
5、的变化状态变量的变化轨迹，有时也称为路径。, 1单变量动态问题离散情形： 若公司的每期产品不仅仅影响当期的利润，而且还影响下一期的利润，则上述问题变为真正的动态问题：, 2、单变量动态问题连续情形： 连续情形下的“下一期”的含义并不清楚，因此，连续情形下的“动态”并不直接，通常假设本期利润依赖于即期的产出和即期的生产率 :,A 动态问题的更多的例子,例1（订单问题）：某公司收到B个单位的订单，要求在T时交货。已知公司生产该产品的单位生产成本随产出率线性增加，单位时间对一个单位产品的储存成本为常数。求最优的生产计划。,记： t时刻的累计产量为 x(t)，等于累积库存量 生产率为x(t) ; 一个
6、可行计划必定满足 x(0)=0和x(T)=B 公司的问题归结为：,一个可能的生产计划为： ，则 总成本为：,例2（消费者问题）：假设代表性经济人（agent）关于消费水平为C 的效用函数为U(C) ，且效用函数满足二次连续可微，单调、凹等假设，即满足： 。其产出函数F(.) 使得对于资本存量为 K时的产出率为F(K) ，且生产函数满足二次连续可微，单调、凹等假设 。则经济人的问题可以归结为优化问题：,问题等价于： 若资本 以常数b 为折旧率，则维持生产规模的再投资率为 bK，此时优化问题转化为:,例3（自由竞争厂商问题）：不考虑生产成本，假设厂商在资本存量为K 时，其利润率为P(K) ，相应的
7、产出率为F(K) 。同样假设它们是二次可微的、单调增和凹的。公司几乎不能控制产品的价格市场p ，因此有：P=kF 令资本的折旧率为 b，使得： 。令以投资率I 增加投资的成本为C(I) ，该成本函数为递增的凸函数。若投资物品的价格为c ，则 C=cI。厂商问题归结为：,例子解析之一：人力资本问题 K ：人力资本； P(K) ：具有人力资本 的收益； C(I) ：教育或训练成本 例子解析之二：公司商誉问题 K ：公司商誉之存货； P(K) ：商誉为 时公司的最大盈利率； C(I) ：为增加公司商誉而进行的广告和推销的费用,例子解析之三：耐用品的租赁问题 K ：准备出租的耐用品之存量； P(K)
8、：存量为 的耐用品的租金； C(I) ：生产成本或需要的附加单位 例子解析之四：健康问题 K ：健康状况或健康资本； P(K) ：健康资本为 的盈利或相应的好处； C(I) ：保持健康状况的花费,例4（最短距离问题）：已知平面内的两点 (a,A)和( b,B)，找出它们之间的最短距离。 假定最短距离的连线为x(t) ，则该问题归结为：,例5（等周问题）：求在平面内由长度为L 的曲线和直线围成的面积最大。 我们通过建立直角坐标系来分析。问题为由曲线x(t) 和直线围成的面积，从点(0,0) 到(0,T) ，问题为：,o T,例6（最速降线问题the brachistochrone problem
9、）：一质量为m 的质点，在重力作用下，从点A以非零初速度 沿曲线下滑到定点B，A、B两定点不在同一铅直线上。不考虑曲线上的摩擦力和空气的阻力，试确定一条曲线，使质点下滑的时间最短。,问题归结为：,C、静态问题的一般处理方法,由前面的分析可知，静态问题也可以分为两种情形：一是单期问题，二是多期问题。对于单期问题，可以用古典优化方法进行处理。即，对于非约束问题直接用非约束的非线性规划方法求解，对于约束问题则可能涉及到等式约束和库恩-塔克条件求解。对于动态问题，其的最大特点是，变量的取值只对本期的目标函数值产生影响，因此，可以将该问题转化文一序列的单期问题，用古典方法求解。,D、动态问题的一般处理方
10、法,动态问题处理的一般方法包括：变分法、最优控制和动态规划。 变分法（the calculus of variations) 变分法是古典优化问题的一种直接推广，它适用于所有相关函数为光滑且最优点为内点的情形。在三种方法中，它的历史最悠久，处理的问题最特殊，方法最简单和直接，但对于一些特殊问题往往无能为力。 。,第一个重要问题是牛顿提出并解决的最速降线问题 第二类重要问题是要求测地线，即曲面上两点之间长度最短的路径。 第三类问题是称为等周问题,最优控制（Optimal contral） 最优控制理论由俄国数学家Pontryagin及其合作者于二十世纪50年代晚期提出来的，它将变分法一般化，使得理论可以适用于边界问题，可视为类似Kuhn-Tucker理论。,动态规划（Dynamic programming） 该理论同样在二十世纪50年代由Richard Bellman提出并发展。,