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1、第十二章 微分方程,第一节 微分方程的基本概念,一、问题的提出,二、微分方程的基本概念,三、小结,四、思考题及其参考答案,五、练习题及其参考答案,解,一、问题的提出,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的基本概念,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为该微分方程的阶.,分类1: 常微分方程,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,偏微分方程,分类3: 线性微分方程：,分类4: 单个微分方程：,非线性微分
2、方程：,微分方程组：,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为该微分方程的解.,若有,则称函数,为微分方程,的一个解。,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,微分方程的解的分类：,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,解的图象: 微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,微分方程解的几何意义:,例如 设,x,y,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,解,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法: 初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解;,初始条件；,特解；,初值问题；,积分曲线,本节基本概念：,三、小结,思考题,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,练 习 题,练习题答案,