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1、第4讲,离散型随机变量期望与方差,1离散型随机变量的均值和方差,一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为,则称 E(X)_为随机变量 X 的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平,x1p1x2p2xipixnpn,2均值和方差的性质,设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 YaXb， 则 E(Y)E(aXb)_，D(Y)D(aXb)_ 3两点分布、二项分布及超几何分布的均值和方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)_ (2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)_,aE(X)b,a2D(X),np(1p),x1E(X)2p1x2E(X)2p2,xnE(X
2、)2pn,p(1p),p,np,1已知随机变量的分布列是：,B,则 D()( ) A0.6,B0.8,C1,D1.2,2已知随机变量B(n，p)，且 E()2.4，D()1.44，,则n,p的值为( ),An4，p0.6 Cn8，p0.3,Bn6，p0.4 Dn24，p0.1,B,A.,3已知 X 的分布列如下表，设 Y2X1，则 Y 的数学期望,是(,),B,1 6,2 B. 3,C1,29 D. 36,4(2011 年上海)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率 分布律如下表请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法 完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的,数值相同据此，
3、小牛给出了正确答案 E()_.,2,5.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表若 E(X)0，D(X),1，则 a_，b_.,考点1,离散型随机变量的均值和方差,例1：(2011 年湖南改编)某商店试销某种商品20 天，获得如 下数据： 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天 开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存 货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为 概率,(1)求当天商品不进货的概率； (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和 数学期望及方差,先求出离散型随机变量的分布列，然后再代入公 式求其数学期
4、望和方差,标与否互不影响若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标,达标的概率为.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合,【互动探究】,1(2011 年广东惠州调研)某工厂在试验阶段大量生产一种零 件这种零件有 A、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达,3 4,8 9,格品,(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；,(2)任意依次抽取该种零件 4 个，设表示其中合格品的个数，,求分布列及 E()，D(),考点2,均值与方差的应用,例2：某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实 验操作规定：至少正确完成其中
5、 2 题的便可通过已知 6 道备 选题中考生甲有 4 题能正确完成，2 题不能完成；考生乙每题正确 2 3 (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计 算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力,完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. 求：,从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的 方差考察，甲较稳定；从至少完成 2 题的概率考察，甲获得通过 的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强,随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率 规律随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反 映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随 机变
6、量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比 较均值，若均值相同，再由方差决定,【互动探究】,2某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交 50 元活动费，可 享受 20 元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之 和为 12 点获一等奖，奖价值为 a 元的奖品；点数之和为 11 或 10 点获二等奖，奖价值为 100 元的奖品；点数之和为 9 或 8 点获三 等奖，奖价值为 30 元的奖品；点数之和小于 8 点的不得奖 求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率； (2)如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求 a 的值,考点3,均值与方差与其他知识的结合,例 3：(201
7、1 届广东韶关摸底)A、B 两个投资项目的利润率分 别为随机变量 x1和x2.根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：,(1)在 A、B 两个项目上各投资 100 万元，y1 和 y2 分别表示投 资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 Dy1、Dy2； (2)将 x(0x100)万元投资 A 项目，100x 万元投资 B 项目， f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差 的和. 求f(x)的最小值，并指出 x 为何值时，f(x)取到最小值注：,D(axb)a2Dx,解析：(1)由题设可知y1 和 y2 的分布列分别为：,E(y1)50.8100.26， D(y
8、1)(56)20.8(106)20.24. E(y2)20.280.5120.38， D(y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.,本题利用随机变量方差的性质将其转化为二次函 数的最值问题,【互动探究】,3(2011 年广东揭阳模拟)某单位甲乙两个科室人数及男女工 作人员分布情况见下表现采用分层抽样方法(层内采用不放回简 单随机抽样)从甲、乙两个科室中共抽取 3 名工作人员进行一项关 于“低碳生活”的调查.,(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；,(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率； (3)记表示抽取的 3 名工作人员中男性的人数，求的分布列,及数学期望,1掌握离散型随机变量的数学期望和方差计算公式，特别的二,项分布的数学期望和方差的规律,2数学期望和方差的意义及在实际问题中的应用,(1)对随机变量 X 的均值(数学期望)是算数平均数概念上的推广， 是概率意义上的平均E(X)是一个数，由分布列唯一确定，按照公式 求 E(X),(2)而方差 D(X)是算数平均数概念上的推广，按照公式求出 D(X)，,可反映其稳定性,期望公式和方差公式的计算,