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1、概率论与数理统计 第3讲,本文件可从网址 http:/ 上下载 (单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录),概率,每一个事件都有它的发生概率,即给定事件A, 存在着一个正数P 与之对应, 称之为事件A的概率, 记作P(A)或PA. 最高的发生概率为1, 表示必然发生. 最低的概率为0, 表示不可能发生. 而一般的随机事件的概率介于0与1之间. 这里只是概率的数学上的规定, 其实就是任何一个事件到实数轴上的0,1区间的映射. 但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢?,概率的统计定义,在n次重复试验中, 如果事件A发生了m次, 则m/n称为事件A发生的频率. 同样若事件B发生了k次, 则事件B发生的频
2、率为k/n.,概率的统计定义,如果A是必然事件, 有m=n, 即必然事件的频率是1, 当然不可能事件的频率为0.,概率的统计定义,如果A与B互不相容, 则事件A+B的频率为(m+k)/n, 它恰好等于两个事件的频率的和m/n+k/n, 这称之为频率的可加性.,定义,在不变的条件下, 重复进行n次试验, 事件A发生的频率稳定地某一常数p附近摆动, 且一般说来, n越大, 摆动幅度越小, 则称常数p为事件A的概率, 记作P(A). 但这不是概率的数学上的定义, 而只是描述了一个大数定律.,历史上的掷硬币试验,概率的稳定性是概率的经验基础,但并不是说概率决定于经验. 一个事件发生的概率完全决定于事件
3、本身的结构, 指试验条件, 是先于试验而客观存在的. 概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的, 但并不能用这个定义计算P(A). 实际上, 人们是采取一次大量试验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值的.例如,对一个妇产医院6年出生婴儿的调查中, 可以看到生男孩的频率是稳定的, 约为0.515,新生儿性别统计表,概率的古典定义(概率的古典概型),有一类试验的特点是: 1,每次试验只有有限种可能的试验结果 2,每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同.,在古典概型的试验中, 如果总共有n个可能的试验结果, 因此每个基本事件发生的概率为1/n, 如果事件A包含有m个基本事件, 则
4、事件A发生的概率则为m/n.,定义,若试验结果一共由n个基本事件E1,E2,En组成, 并且这些事件的出现具有相同的可能性, 而事件A由其中某m个基本事件E1,E2,Em组成, 则事件A的概率可以用下式计算:,简单的例,掷一枚硬币的试验, 基本事件为正面和反面, 而且由于硬币的对称性, 因此出现正面和反面的概率一样, 都是1/2.,掷一次骰子的试验, 基本事件有6个, 因此每个基本事件的概率为1/6, 则 P奇数点=3/6=1/2, P小于3=P1,2=2/6=1/3,例 袋内装有5个白球, 3个黑球, 从中任,两个球, 计算取出的两个球都是白球的概率.,例2 一批产品共200个, 废品有6个
5、, 求(1)这批产品的废品率; (2)任取3个恰有一个是废品的概率;(3)任取3个全非废品的概率,解 设P(A), P(A1), P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所求的概率,则,例3 两封信随机地向标号为1,2,3,4的4个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率及前两个邮筒中各有一封信的概率.,解 设事件A=第二个邮筒恰有一封信 事件B=前两个邮筒中各有一封信 两封信投入4个邮筒共有44种投法, 而组成事件A的投法有23种, 组成事件B的投法则只有2种, 因此,例3 两封信随机地向标号为1,2,3,4的4个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率及前两个邮筒中各有一封信的概
6、率.,解 设事件A=第二个邮筒恰有一封信 事件B=前两个邮筒中各有一封信 两封信投入4个邮筒共有44种投法, 而组成事件A的投法有23种, 组成事件B的投法则只有2种, 因此,比较难的例子： 一个小型电影院出售电影票, 每张5元. 总共有10个观众随机地排成一队买票, 其中有5人手持一张5元的钞票, 另5人手持 10元一张的钞票. 售票开始时, 售票员手里没有零钞, 求售票能够进行的概率(即不因为缺少零钱找不开而需要等的概率).,售票能进行的例:,售票不能进行的例:,持五元,持十元,基本事件总数n的计算: 考虑将5个手持五元的人随机地放入10个排队位置中的5个, 则剩下的5个位置当然是手持十元
7、的人的位置. 即10个位置中拿出5个来放手持五元的人的总数n.,将问题改变一下, 假设售票员手里还是有足够的零钞找换的, 因此“售票能进行“的事件就等于售票员始终没有使用自己手中的零钞的事件, 而“售票不能进行“的事件就是售票员要动用自己手中的零钞的事件. 假设在售票开始时, 售票员手中的五元零钞数目为0, 在售票过程中, 遇到手持五元钞的观众则零钞数目增1, 否则零钞数目减1, 如果必须动用售票员手中原有的零钞时, 零钞数目可能变为负值. 将售票过程中的零钞数目的变化绘成折线图.,售票能进行的例子:,0,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,售票不能进行的例子:,0,1,2,3,4,-1,
8、-2,-3,-4,将曲线从第一个不能进行的点处开始对折,0,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,对于售票不能进行的例子, 在遇到第一个手持10元却必须给他找自己的零钞的人时, 将后面的人的手中钞票都换一下, 5元的换10元, 10元的换5元, 这样总的效果就是有6人持10元钞, 4人持5元钞, 在售完票时零钞总损失必然是2个5元钞. 反过来, 如果一开始就是有6人持10元4人持5元, 则售票必然不能进行, 因此必然存在第一个无法找零钞的人, 如果这时将其后面的人10元换5元, 5元换10元, 则对应于一个5人持10元5人持5元且售票不能进行的事件.,因此, 6人持10元4人持5元的排队事件
9、总数, 和5人持10元5人持 5元售票不能进行的事件总数应当是一样的. 我们只需计算前者的事件总数, 而这等于先将10个排队位置中拿出4个放持5元的人的总数.,因此, 假设事件A为售票能进行, 事件B为售票不能进行, 有利于A的基本事件数为nA, 有利于B的基本事件数为nB, 则,这还可以扩展到更一般的情况, 即假设共有2k个人排队买票, 其中k个人持五元钞, k个人持十元钞, 每张票五元, 售票开始时售票员没有零钞, 求售票能够进行的概率.,假设所求事件的概率为P(A), 售票不能进行的概率为P(B), 则B的事件总数为2k个排队位置中取出k-1个位置的事件数.,几何概型,设样本空间S是平面
10、上的某个区域, 它的面积记为m(S);,S,A,向区域S上随机投掷一点, 该点落入任何部分区域A的可能性只与区域A的面积m(A)成比例.,S,A,则必然有,(3.2),如样本空间S为一线段或一空间立体, 则向S投点的相应概率仍可用上式确定, 但m()应理解为长度或体积.,例 某人一觉醒来, 发觉表停了, 他打开收音机, 想听电台报时, 设电台每正点报时一次, 求他(她)等待时间短于10分钟的概率.,解 以分钟为单位, 记上一次报时时刻为0, 则下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在(0,60), 记”等待时间短于10分钟”为事件A, 则有 S=(0,60), A=(50,60)
11、S, 于是,例 甲,乙两人相约在0到T这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间t(tT)后离去. 设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的, 且两人到达的时刻互不牵连. 求甲,乙两人能会面的概率.,解 以x,y分别表示甲乙两人到达的时刻, 那末 0xT, 0yT. 若以x,y表示平面上点的坐标, 则所有基本事件可以用一正方形内所有点表示, 两人能会面的条件是 |x-y|t,y,y,所以所求概率为,介绍蒙特卡洛试验技术,我们知道象掷硬币这样的试验作一次是很费时间的. 但是计算机出现以后, 通常都有一个随机函数, 此随机函数每次调用的返回值都不一样, 会产生一个随机
12、的数字, 因此我们就可以利用这样一个随机的数字进行反复的试验来求出我们所希望的事件的概率. 特别是有一些事件的概率求起来非常困难, 但用计算机进行仿真试验, 就可以通过统计的办法求出概率的近似值, 这叫做蒙特卡洛试验.,在word上编程试验掷硬币,Word字处理器带有一个virsal basic编译器, word的宏都是用它来编写的. 在进入word之后, 选择“工具|宏|宏菜单“, 在宏名上键入你想要的宏的名字, 这里我们键入test, 然后单击“创建“按钮, 这就进入virsal basic编译器. Basic语言中有一个函数叫rnd(), 每调用一次它就会返回一个在区间0,1)内的随机数
13、, 因此可以在调用此函数后判定返回值是否小于0.5, 如果小于就是反面, 否则就是正面, 这样可以保证正面和反面的机会都是0.5.,因此键入这样的语句,If rnd()0.5 then selection.typetext text:=“反面“ Else selection.typetext text:=“正面“ End if 则每调用一次这个宏就相当于用计算机模拟作了一次掷硬币试验,如果要连做10次试验, 则语句改成这样,For i=1 to 10 If rnd()0.5 then selection.typetext text:=“反面“ Else selection.typetext text:=“正面“ End if Next i,如果要统计做n次试验中正面出现的频率程序为,Sub test() n = 200000 m = 0 For i = 1 To n If Rnd() 0.5 Then m = m + 1 End If Next Selection.TypeText Text:=Str(m / n) End Sub,作业 第3页 习题1-2 第1题 第4页开始 习题1-3 第1,2,4,8,10题 学号小于2003021561的学生交作业 作业尽量用纸交, 尽量不用本子.,