第15课函数的应用.ppt

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1、第15课 函数的应用,1函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用 2利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量； (2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式； (3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； (4)利用函数的性质解决问题； (5)写出答案 3利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题,要点梳理,1理解实际问题与函数的关系，建立函数模型 函数是刻画现实世界运动变化和变量相依关系的重要数学模型之一，它有着广泛的应用，国情国策、生产生活、环保生态、商场经营、

2、经济核算、规划策略等许多问题都与函数有关用函数的知识解决实际问题要注意对问题的审读和理解，恰当地分析、整合信息，将已知条件转化为相应的数学关系式用函数的知识解决实际问题的关键是将实际问题中的数量关系抽象、转化为数学问题，建立函数模型，进而运用函数的有关性质，求出问题的答案,难点正本 疑点清源,2认真审题，提高分析问题、解决问题的能力 用函数的知识解决实际问题，除了可能涉及函数的有关知识外，有时还会涉及方程、不等式、几何等知识，这些知识相互联系融为一体，需要一定的阅读理解能力、收集处理信息的能力，以及观察、归纳、探索、发现、推理从而解决问题的能力,1(2011南充)小明乘车从南充到成都，行车的平

3、均速度v(km/h)和行车时间t(h)之间的函数图象是( ) 解析：设南充到成都的路程为s(km)，则v (s0)函数图象是双曲线分布于第一象限的一个分支,基础自测,B,2(2011鸡西)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函数 y 图象上的点，且x1x20x3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是( ) Ay3y1y2 By1y2y3 Cy2y1y3 Dy3y2y1 解析：因为x30，则y30，又x10y1y2.,A,3A、B、C三种物质的质量与体积的关系如图所示(表示物质的密度)，由图可知( ) AABC，且C水 BABC，且A水 CA水 DA水 解析：密度 ，由

4、图象可知ABC， 又A ，这里0.51000，即A水所以应选B.,B,4(2011河北)一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面的函数关系式：h5(t1)26，则小球距离地面的最大高度是( ) A1米 B5米 C6米 D7米 解析：由关系式h5(t1)26得，当t1时，h有最大值6.,C,5(2010荷泽)某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气球体积V的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该( ) A不小于 m3 B小于 m3 C不小于 m3 D小于 m3 解析：设P

5、，则k601.696， P . 当P120时，V ， 当P120时，V .,C,题型分类 深度剖析,题型一 一次函数相关应用题 【例1】 某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm30 cm，B型板材规格是40 cm30 cm.现只能购得规格是150 cm30 cm的标准板材一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：(图是裁法一的裁剪示意图),设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用 (1)上表中，m_，n_； (2)分别求出y与x和z与x的函数关系式； 解：由题意得x

6、2y240,2x3z180， y120 x，z60 x.,0,3,(3)若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？ 解：由题意得Qxyzx 180 x. 解得x90. (注：事实上0x90且x是6的整数倍). 由一次函数的性质可知，当x90时，Q最小，此时按三 种裁法分别裁90张、75张、0张,探究提高 审清题意，找到等量关系，可写出两个函数关系式，然后求出用含x的代数式表示Q，利用x的取值范围确定Q的最小值,知能迁移1 (2010吉林)一列长为120米的火车匀速行驶，经过一条长为160米的隧道，从车头驶入隧道入口到车尾离开

7、隧道出口共用14秒，设车头驶入隧道入口x秒时，火车在隧道内的长度为y米 (1)求火车行驶的速度； (2)当0x14时，求y与x的函数 关系式； (3)在给出的平面直角坐标系中画 出y与x的函数图象,解：(1)解法一：设火车行驶的速度为v米/秒 根据题意，得14v120160，解得v20. 解法二：(120160)1420. 答：火车行驶的速度为20米/秒 (2)当0x6，y20x； 当6x8时，y120； 解法一：当8x14时，y120(20x160)20x280； 解法二：当8x14时，y20(14x)20x280. (3),题型二 反比例函数相关应用题 【例2】 水产公司有一种海产品共21

8、04千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下： 观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系,(1)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格； (2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计要用多少天可以全部售出？ 解：(1)函数解析式为y ，表格空白处：300,50. (2)2014(30404850608096100)1600， 即8天试销后，余下的海

9、产品还有1600千克 当x150时， 80. 16008020(天)， 所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出,探究提高 问题中已经给出了基本数量关系，由此可确定函数关系式 利用函数关系解题时，要理解已知数的意义，弄清已知数对应的是自变量还是函数值，正确代入,知能迁移2 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中的司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为50 km/h时，视野为80度如果视野f(度)是车速v (km/h)的反比例函数，求f、v之间的关系式，并计算当车速为100 km/h时视野的度数 解：f、v之间的关系式 f . 当v100时，f 40. 答：当

10、车速为100 km/h时，视野的度数为40度,题型三 二次函数相关应用题 【例3】 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米， 底部宽度OM为12米现以O点为原点，OM所在直线为x轴建 立直角坐标系 (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”ADDCCB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这 个“支撑架”总长的最大值是多少？,解：(1)M点的坐标为(12,0)，顶点P的坐标为(6,6) (2)设抛物线为ya(x6)26， 抛物线ya(x6)26经过点(0,0) 0a(06)26, 36a6，a . 抛物线解析式为

11、：y (x6)26 x22x. (3)设A(m,0)，则B(12m,0)，C(12m, m22m)， D(m, m22m) “支撑架”总长ADDCCB (122m) m22m12 (m3)215. a 0. 当m3时，ADDCCB有最大值为15米,探究提高 根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题,知能迁移3 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起

12、后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半 (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； (2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取4 7) (3)运动员乙要抢到第二个 落点D，他应再向前跑多 少米？(取2 5),解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为ya(x6)24， 由已知得，x0时，y1， 136a4，a . 抛物线的表达式为y (x6)24. (2)令y0，则 (x6)240. (x6)248，x14 613，x24 60(舍去)， 足球第一次落地距守门员约13米,(3)OC13，C点坐标为(13,0) 设球落地后又一次弹起的抛物线的表达式为y

13、(xk)22. 0 (13k)22， 解之得k1132 18，k2132 13(舍去) y (x18)22. 令y0，得 (x18)220. 解之得x1182 23，x2182 (舍去)， BD23617. 答：运动员乙应再向前跑17米,【例4】 我市某工艺厂为配合伦敦奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投入市场进行试销，得到如下数据： (1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在右面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x 的函数关系，并求出函数关系式；,(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？(利润销售总价成本总价)； (3)当地物价部门

14、规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？ 解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)画图，由图可猜想y是x的一次函数，设ykxb， 图象过(30,500)，(40,400)这两点， 解得 y10x800. 5分,(2)设该工艺厂试销工艺品每天获得的利润是W元 W(x20)(10x800)10x21000x16000 10(x50)29000. 当x50时，W有最大值9000. 当销售单价定为50元/件时，工艺厂每天获得的 利润最大，最大利润9000元 10分 (3)对于W10(x50)29000， 当x45时，W值随x

15、的增大而增大， 当销售单价定为45元/件时，工艺厂每天获得的 利润最大 12分,探究提高 建立合适的函数模型，利用已知条件求出函数解析式，根据函数性质解答问题,知能迁移4 (2011盐城)利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？ (2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的

16、利润最大？每天的最大利润是多少？,解：(1)设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元 根据题意，得 解得 答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元 (2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元， 则s(1m)(500100 )(53m)(300100 )， 即 s2000m22200m1100 2000(m0.55)21705. 当m0.55时，s有最大值，最大值为1705. 答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元,9注重养成良好的解题习惯 试题 杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施若

17、不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元而该游乐场开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元)，且yax2bx.若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的二次函数 (1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y关于x的解析式； (2)求纯收益g关于x的解析式； (3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？,易错警示,学生答案展示 解：(1)由题意，得x1，y2；x2，y4， 代入yax2bx中， 有 解得 故y2x. (2)纯收益g33x1502x31x150. (3)由g31x150，可知x越大，g

18、越大，则纯收益无最大值； 要收回成本，即g0， x4时，g260， 5个月后，能收回投资,剖析 这种解法中没有认真读题、审题，忽略题中“累计”二字，误以为x2时y4，而应该是“x2时，y246”，这个理解的失误，导致后面的两问虽然思路正确，但由于x的关系式出错，(2)、(3)问都错了,正解 (1)由题意，得x1时，y2； x2时，y246，代入yax2bx中， 有 解得 故yx2x. (2)纯收益g33x150(x2x)x232x150. (3)gx232x150(x16)2106， x16时，g有最大值， 即设施开放16个月后游乐场的纯收益最大 由二次函数的增减性可知，当00， 所以6个月后

19、，能收回成本,批阅笔记 在建立函数关系解实际问题时，要想建立正确的函数关系，必须养成良好的解题习惯，审题的粗枝大叶让本属于自己的分数失之交臂要养成良好的解题习惯，从每天的课内、外练习做起，不断提升自己的审题和解题的正确率,方法与技巧 1. 解决实际问题时的基本思路：理解问题；分析问题中的变量和常量；用函数表达式表示出它们之间的关系；利用函数的有关性质进行求解；检验结果的合理性，对问题加以拓展等 2. 实际问题中函数解析式的求法：设x为自变量，y为x的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x、y的二元方程，再用含x的代数式表示y，最后还要写出自变量x的取值范围,思想方法 感悟提高

20、,3. 中考常见题型 (1)选择题关键：读懂函数图象，学会联系实际； (2)综合题关键：运用数形结合思想； (3)求运动过程中的函数解析式关键：以静制动,失误与防范 1函数问题是初中阶段较为复杂的问题之一，找出题中的内在联系，如与方程、不等式的联系、与几何图形的联系等，采取较为灵活的解题策略，运用数形结合的思想去解决问题解这类综合题，不但要具备良好的知识素养，而且还要有健康的心理，不管题目如何复杂，信息量如何大，要首先在全局上，对于整道题要敢于求解、敢于求胜其次，在局部上，对所给的每个信息点都要作认真解剖，深入探究，甚至不放过任何蛛丝马迹，为解决问题创造条件，再次，要有百折不挠的意志，当一些题

21、目百思不得其解时，只要坚持探究，往往就可以打开局面解综合题本身就是对知识和耐力的综合考验，只有不断地培养锻炼，才能成为探究的强者,2认真审题，注意问题中的关键字词 如：某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出若每床每晚收费提高2元，则会减少10张床位租出，以此种提 高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高 ( ) A4元或6元 B4元 C6元 D8元 错解： 设该旅社每床每晚提高x元，旅社获利y元， 则有y (10x)5x2十50x1000 5 (x5)21125. 即x5时，旅社获利最大，但x为偶数，考虑二次函数的对称性， 故x4或6.选A.,上述解题过程中没有注意到题中关键字眼“投资少而获利大” 从经济实惠的角度考虑，x应取6元，即在床位租出少而获得最大利润，旅社每床每晚提高4元或6元时，从房价收费来说获利相同，但提高4元，表明房价低，此时租房数较多，相应的服务性支出就会大一些，结合实际予以权衡，每床提高6元较合适正解是C.,完成考点跟踪训练 15,