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1、第三章 季节时间序列模型,3.1 季节时间序列模型的建立 3.2 季节时间序列模型的识别 3.3 季节时间序列模型的估计、检验 与预测 3.4 案例分析,北京市社会商品零售额月度数据,香港GDP季度数据,我们在分析问题的时候何时应选取季度或者月度数据呢？,季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等时间序列中往往存在着明显的周期性变化， 这种周期往往是由于季节性变化引起的，因此这种序列又称为季节性时间序列。这种序列怎么建立模型？,seasonal ARIMA model, SARIMA multiplicative seasonal model 1、季节差分：消除季节单位根 假设季节性序列的变化
2、周期为s，存在季节单位根即yt= yt s+ ut ， 则季节差分为yt - yt s. 季节差分算子定义为， s = 1- Ls 则对yt进行一次季节差分表示为 s yt = (1- Ls) yt = yt - yt - s 若非平稳季节性时间序列存在D个季节单位根，则需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳序列。即s Dyt,3.1 季节时间序列模型的建立,与一般时间序列模型 对照来学习,2、季节自回归算子与移动平均算子：描述季节相关性 类比一般的时间序列模型，序列xt=sDyt中含有季节自相关和移动平均成份意味着， 即sDyt可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型。
3、P (Ls) sDyt = Q (Ls) ut 其中P (Ls)=(1-1 Ls-2 L2s-P LPs)称为季节自回归算子; Q (Ls) =(1+1Ls+2 L2s+Q LPs)称为季节移动平均算子,3、季节时间序列模型的一般形式： 乘积季节模型 当ut非平稳且存在ARMA成分时，则可以把ut描述为 p (L) dut = q (L) vt 其中vt为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示ut的一阶（非季节）差分次数。由上式得 ut = p-1(L) -d q (L) vt 代入P (Ls) sDyt = Q (Ls) ut 得到 p(L) P(Ls) (
4、dsDyt) = q(L) Q(Ls) vt 其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节和季节性差分次数。上式称作 (p, d, q) (P, D, Q)s 阶季节时间序列模型或乘积季节模型。,当协方差平稳序列dsDyt含有均值等确定性成分时（通常如此），上述模型表示为， p(L) P(Ls) (dsDyt - ) = q(L) Q(Ls) vt 保证（dsDyt）具有平稳性的条件是p(L)P(Ls) = 0的所有根在单位圆外；保证（dsDyt）具有可逆性的条件是q (L)Q (Ls) = 0的所有根在单位圆外。 当P = D =
5、 Q = 0时，SARIMA模型退化为ARIMA模型；从这个意义上说，ARIMA模型是SARIMA模型的特例。当P = D = Q = p = q = d = 0时，SARIMA模型退化为白噪声模型。 例如，(1, 1, 1) (1, 1, 1)12 阶月度SARIMA模型表达为 (1- 1 L) (1- 1 L12) 12 yt = (1+1 L) (1+1 L12) vt 则 12 yt具有平稳性的条件是 1 1， 1 1， 12 yt具有可逆性的条件是 1 1， 1 1。,3.2 季节时间序列模型的识别,1、首先要确定d, D。存在一般单位根时相应相关图的呈缓慢线性衰减。存在季节单位根的
6、特征是相应的相关图中s整数倍时点上的值呈缓慢衰减。,3.2 季节时间序列模型的识别,2、如果相关图和偏相关图在变化周期s的整倍数时点上出现峰值或衰减变化。说明存在季节自回归或移动平均成份。同p和q的识别一样，同样可以根据相关图偏相关图来识别P和Q。 3、用对数的季节时间序列数据建模时通常D不会大于1，P和Q不会大于3。,3.3 季节时间序列模型的估计、检验与预测,乘积季节模型参数的估计、检验与前面介绍的估计、检验方法相同。利用乘积季节模型预测也与上面介绍的预测方法类似。我们重点看一下Eviews操作。 例， (1, 1, 1) (1, 1, 1)12 阶月度SARIMA模型表达为 (1- 1
7、L) (1- 1 L12) 12 yt = (1+1 L) (1+1 L12) vt 其中，yt =ln(Yt)，则 上式的Eviews命令是， DLOG(Y,1,12) AR(1) SAR(12) MA(1) SMA(12),对序列Y进行差分或取对数的EViews命令,例，(0, 1, 1) (0, 1, 1)12 阶月度SARIMA模型表达为 12 yt = (1+ 1 L) (1+ 1 L12) vt 上式的EViews估计命令是 DLOG(Y,1,12) MA(1) SMA(12) 上式还可以写为， 12 yt = (1+1 L) (1+1 L12 ) vt = vt +1 L vt
8、+1 L12vt + 1 1 L13vt = vt +1 vt 1 +1 vt 12 + 1 1 vt 13 上式也可以用如下的EViews命令估计 DLOG(Y,1,12) MA(1) MA(12) MA(13) 上述估计命令对应的模型表达式是 12 yt = vt +1 vt 1 +12 vt 12 + 13 vt 13,区别在于前者 等价于 约束13 =1 1,预测： 12 yt = vt +1 vt 1 +1 vt 12 + 1 1 vt 13 12 yt = (yt yt - 12)= yt yt - 12 = yt yt -1 yt - 12 + yt 13 在这个例子中，综合上述
9、两式，用于预测的模型形式是 yt = yt -1 + yt - 12 yt 13 + vt +1 vt 1 +1 vt 12 + 1 1 vt 13,3.4 案例分析,1、北京市社会商品零售额月度数据（ 1978:11989:11 ） (file:5b2c3),Lnyt的相关图和偏相关图,Lnyt一次差分即Lnyt,Lnyt二次差分,Lnyt的相关图和偏相关图,Lnyt一次季节差分即12Lnyt,12 Lnyt的相关图和偏相关图,12 Lnyt 均值近似为零。,12 Lnyt的相关图和偏相关图,估计yt 的 (1, 1, 1) (1, 1, 0)12阶季节时间序列模型 (加入SMA(12)项发
10、现其参数不显著) EViews估计命令是DLOG(Y,1,12) AR(1) SAR(12) MA(1),(1+ 0.5924 L) (1 + 0.4093 L12) 12Lnyt = (1+0.4734 L) vt (-4.5) (-5.4) (2.9) R2 = 0.33, s.e. = 0.146, Q36 = 15.5, 20.05(36-2-1) = 44,模型平稳可逆，自回归部分有13个特征根，移动平均部分有1个特征根。但是对序列Lnyt来说，其实一共有26个自回归部分的根，因此对于Lnyt序列一共有 27个特征根。,试试看， 有没有更好的模型？,Eviews5的输出结果，Evie
11、ws6会有微小差别。,模型残差的相关图、偏相关图,样本内预测：选取静态预测方法,12 Lnyt的实际与预测序列 yt的实际与预测序列,对1989年第12月份yt进行样本外1期预测，结果如图。,相对预测误差是 = =0.076,2、香港GDP季度数据 （1980:12002:3 ）file:HongKong,LnGDPt的相关图和偏相关图,LnGDPt的相关图和偏相关图,LnGDPt,2LnGDPt,4LnGDPt,4 LnGDPt,建立(2, 1, 2) (1, 1, 1)4 模型。 EViews估计命令是: DLOG(GDP,1,4) C AR(1) AR(2) SAR(4) MA(1) M
12、A(2) SMA(4),(1-1.20 L+0.66 L2) (1 - 0.33 L4) (4LnGDPt+ 0.0023) (14.4) (-8.8) (2.8) (-2.45) = (1 - 1.16 L+ 0.97 L2) (1 - 0.95 L4) vt (-55.9) (86.1) (-32.8) R2 = 0.57, F = 16.1, Q36 = 19.3, 20.05 (36-3-3) = 43.8 说明残差通过了36期的Q检验。,模型平稳可逆，自回归部分有6个特征根，移动平均部分有6个特征根。但是对序列LnGDPt来说，其实一共有11个自回归部分的根，因此对于Lnyt序列一共有 17个特征根。,Eviews5的输出结果，Eviews6会有微小差别。,样本内预测：选取静态预测方法,4 LnGDPt的实际与预测序列 GDPt的实际与预测序列,对2002年第4季度GDPt进行样本外1期预测，结果如下：,相对预测误差是 =,= 0.006,