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1、第六节 多元函数的极值,一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值 三、条件极值,一、多元函数的极值,定义10.7 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果在该邻域内任何点(x,y)的函数值恒有 f(x,y)f(x0,y0) (或f(x,y)f(x0,y0)， 则称点(x0,y0)为函数的极大值点(或极小值点).f(x0,y0)为极大值(或极小值)，极大值和极小值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点.,例1 函数 ，在原点(0,0)处取得极小值1.因为，对于任何点(x,y)(0,0)，都有,f(x,y)f(0,0)=1,这个极小值也是最小值.该函数的图形是椭
2、圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐标小于曲面上其他点的z坐标.,例2 函数 ，在原点(0,0)处取得极大值1.因为对于任何(x,y)(0,0)，都有,f(x,y)f(0,0)=1,这个函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐标大于曲面上其他点的z坐标.,定理10.6 (极值存在的必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且在该点的偏导数存在，则必有,证 由于z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，所以当y保持常量y0时，对一元函数z=f(x,y0)在点x0点也必有极值，根据一元函数极值存在的必要条件，得,同理可证,使 同时成立的点(x0,y0),称为
3、函数f(x,y)的驻点.,容易看出驻点(0,0)不是函数的极值点.,注意：驻点不一定是函数的极值点.例如，函数z=x2y2，在点(0,0)处的两个偏导数同时为零，即,还要注意：极值点也可能不是驻点，因为偏导数 不存在的点也可能是极值点，如锥面 的 顶点(0,0,1)，偏导数不存在，但顶点是极值点.,定理10.7(极值的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，且(x0,y0)是函数的一个驻点，即 ,记 ，则,(1) 当B2AC0时，(x0,y0)为极小值点，f(x0,y0)为极小值.,(2) 当B2AC0时，f(x0,y0)不是极值.,(3) 当
4、B2AC=0时，f(x0,y0)可能为极值，也可能不是极值，此法失效.,综合定理10.6，定理10.7，对于具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)求其极值的步骤如下：,2.求出二阶偏导数 ，并对每一驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C.,1.求方程组,的一切实数解，得到所有驻点.,3.对每一驻点(x0,y0)，定出B2AC的符号，按照定理10.7的结论判定f(x0,y0)是否为极值，是极大值还是极小值.,例3 求函数 的极值.,的一切实数解，得驻点(1,0).,在(1,0)点处，有A=2，B= 1，C=2. B2AC= 30，,由极值的充分条件，得f(1,0)= 1为极小值.,解 求方程组,求
5、函数的二阶偏导数,例4 求函数 的极值.,的一切实数解，得驻点(0,0)，(4,2).,解 求方程组,求函数f的二阶偏导数，,由极值的充分条件知，知(0,0)不是极值点，f(0,0)=0不是函数的极值.,在(4,2)点处，有,而A0，由极值的充分条件，知点(4,2)为极大值点，f(4,2)=8e2是函数的极大值.,在(0,0)点处，有A=2，B=0，C= 4. B2AC=80,如何求函数z=f(x,y)在区域D上的最大值、最小值呢？如果f(x,y)在D上可微，可先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值及函数在区域边界上的最大值与最小值.在这些函数值中的最大的就是函数在D上的最大值，最小的就是函
6、数在D上的最小值.,二、多元函数的最大值与最小值,例5 要用铁板做一个体积为常数a的有盖的长方体水箱，问水箱各边的尺寸多大时，用材料最省.,解 设水箱的长、宽、高分别为x，y，z，于是体积a=xyz，表面积A为 A=2(xy+xz+yz).,将 代入A的表达式中，得,由第一个方程，得 ，将其代入第二个方程，得,求函数A(x,y)的驻点.,根据实际问题可以断定，A(x,y)在D内一定有最小值，而在D内只有唯一驻点 ，则该驻点就是A(x,y)的最小值点，即当 时，面积A取得最小值.此时高 ，即水箱为正立方体，每边长为 时，所用材料最省.,三、条件极值,从上述例5我们看到，求水箱用料最省这一实际问题
7、转化为数学问题就是求二元函数,在x0，y0时的最小值问题.但是，从函数A(x,y)的建立过程也可以看成是求三元函数 A=2(xy+xz+yz) 在约束条件 xyz=a 下的最小值，这就是条件极值问题，其一般提法是：,求函数z=f(x,y)，在约束条件 下的极值，称这种类型的极值问题为条件极值问题.相对于条件极值，我们把函数(1)的极值问题称为无条件极值问题.,拉格朗日乘数法 求函数z=f(x,y)在条件 下的极值，按以下方法进行：,构造辅助函数 ，其中 称为拉格朗日乘数.,求 的偏导数，并建立方程组,解该方程组，得x，y及，则(x,y)是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法
8、.,例6 设周长为2p的矩形，绕它的一边旋转构成圆柱体，求矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大.,解 设矩形的边长分别为x和y，且绕边长为y的边旋转，得到旋转圆柱体的体积为,其中矩形边长x，y满足的约束条件是,2x+2y=2p，即x+y=p.,现在求函数 在条件x+yp=0下的最大值.,构造辅助函数：,求F(x,y)的偏导数，并建立方程组,由方程组中的第一、二两个方程消去，得2y=x，代入第三个方程，得,根据实际问题，最大值一定存在，且只求得唯一的可能极值点，所以函数的最大点必在 处取到.即，当矩形边长 时，绕y边旋转所得的圆柱体的体积最大， .,例7 某公司的两个工厂生产同样的产品,但所需成本不同,第一个工厂生产x个产品和第二个工厂生产y个产品时的总成本为z=x2+2y2+5xy+700,若公司生产任务是500个产品,问每个工厂生产多少产品才能使总成本最小?,解 由题意知成本函数为 z=x2+2y2+5xy+700,约束条件为 x+y=500,构造辅助函数 F(x,y,)=x2+2y2+5xy+700+(x+y500),可得,得 x=125, y=375,根据题意,最小值一定存在,且只求得唯一可能的极值.所以函数的最小值必在x=125,y=375处取得,即当第一个工厂生产125个产品,第二个工厂生产375个产品时,所需总成本最小.,