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1、1.1 两个基本计数原理,高二 数学备课组,世界杯足球赛共有32个队参赛它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名问一共安排了多少场比赛？前4名有多少不同的结果？,实际问题,要回答这个问题，就要用到排列、组合的知识在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理,问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？,问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法 ？,你能说出这两个问 题有什么区别吗?,问题1：从甲地到乙
2、地，有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？,因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件事，有3条公路，2条铁路，所以共有： 325 （种）,甲地,乙地,一、分类计数原理,完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类方法中有m2种不同的方法， 在第n类方法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有 :,2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.,1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理,说明,N= m1+m2+ + mn 种不同的方法,
3、问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法 ？,这个问题与前一个问题不同在这个问题中，必须经过先从甲地到乙地、再从乙地到丙地两个步骤，才能从甲地到丙地,因为从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有2种走法，所以从甲地到丙地，共有不同的走法： 326 （种）,甲地,乙地,丙地,二、分步计数原理,完成一件事，需要分成n个步骤。 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， ， 做第n步有mn种不同的方法， 则完成这件事共有,2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.,1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都
4、完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理,说明,N= m1m2 mn种不同的方法,例1.,书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.,(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?,有3类方法,根据分类加法计数原理,N=4+3+2=9,(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?,分3步完成,根据分步乘法计数原理,N=432=24,解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.,学案P46-1,练习,要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、
5、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?,分两步完成,左边,右边,甲,乙,丙,3,2,第一步,第二步,学案P46-2,A,B,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,分类完成,分步完成,解: 从总体上看由A到B的通电线路可分二类, 第一类, m1 = 4 条 第二类, m3 = 22 = 4, 条 所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N = 4 + 4 = 8 条不同的线路可通电.,点评:,乘法原理看成“串联电路”,加法原理看成“并联电路”;,如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的
6、走法？,练习,学案P47-s4,解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 42 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。,问题3：加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点什么？,问题4：何时用加法原理、乘法原理呢?,加法原理,完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成.,乘法原理,完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相
7、独立的这n步后,才能完成这件事.,分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整”,练习：,三个比赛项目，六人报名参加。 ）每人参加一项有多少种不同的方法？ ）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？ ）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？,例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的四位数?,一、排数字问题,二、映射个数问题:,例2 设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从A到B共有多少
8、种不同的映射?,三、染色问题:,例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色. (1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法? (2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n (1) (2),、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色
9、方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。,、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？,答:它们的涂色方案种数分别是 0、 4322 = 48、 5433 = 180种等。,思考：,分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻， A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类。,解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。 第一步涂A
10、有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C 有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理， 共有5432120种方法。,根据分类计数原理，共有120+60180种方法。,第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有54360种方法。,5、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）,42,4、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，
11、那么共有多少种涂色方法？,四、子集问题,规律：n元集合 的不同子集有个 。,例：集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数为 ，真子集个数为 ，非空子集个数为 ，非空真子集个数为 。,五、综合问题:,例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?,例5、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?,解:由于 75600=2433527,75600的每个约数都可以写成 的形式,其中 , , ,于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法
12、,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5432=120个.,一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?,分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 101010 = 103 种三位数的密码。,练习,首位数字不为0的密码数?首位数字是0的密码数?,一个三位密码锁,各位
13、上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?,分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 101010 = 103 种三位数的密码。,练习,变式训练：各位上的数字不允许重复又怎样?,答:首位数字不为0的密码数是 N =91010 = 9102 种, 首位数字是0的密码数是 N = 11010 = 102 种。
14、 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。,问: 若设置四位、五位、六位、十位等密码,密码数分别有多少种？,答:它们的密码种数依次是 104 , 105, 106, 种。,1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法.那么 完成这件事共有 种不同的方法.,2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,课堂小结,完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”,区别1,完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”,区别2,区别3,每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。,每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。,各类办法是互相独立的。,各步之间是互相关联的。,即：类类独立，步步关联。,