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1、1.1 两个基本计数原理（二）,什么是分类计数原理？,什么是分步计数原理？,应用这两个原理时应注意什么问题？,分类计数原理（加法原理） 做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法。,分步计数原理（乘法原理） 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn 种不同的方法。,分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类方式”，即每种方式都可以
2、独立地完成这件事。进行分类时，要求各类方式彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以。,分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。,2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条
3、 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 22 = 4, 条 所以, 根据分类计数原理, 从A到B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。,当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。,.,A,B,A,B,m1,m1,m2,m2,mn,mn,点评: 我们可以把分类计数原理看成“并联电路”;分步计数原理看成“串联电路”。如图:,如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从它的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？,课堂练习3,解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法 从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 12 = 2 条
4、 第二类, m2 = 12 = 2 条 第三类, m3 = 12 = 2 条 根据分类计数原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。,4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？,甲地,乙地,丙地,丁地,解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 42 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8
5、 = 14 种不同的走法。,例1、某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各一人，有多少种不同的选法？,例2、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？,提示：对于有些较“复杂”的问题，往往不是单纯的“分类”、“分步”就可解决的，而往往将两者结合使用，一般是先“分类”，再在每一类中进行“分步”。,例3、为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码
6、为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一个。这样的密码共有多少个？,排数字问题,例4 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的四位数?,升华发展,（1993年全国高考题）同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有( ) A6种 B9种 C1
7、1种 D23种,变式:,问题拓展:,(1) 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?,(2)集合 A=1,2,-3 ,B=-1,-2,3,4从 A、B 中各取1个元素作为点P(x,y) 的坐标 （1）可以得到多少个不同的点？ （2）这些点中，位于第一象限的有几个？,(3)、某赛季足球比赛的记分规则 是：胜一场得3分，平一场得1分， 负一场得0分。一球队打完15场比 赛积33分，若不考虑顺序，该队 胜、平、负的情况共有（ ） （A）5种 （B）4种 （C）3种 （D）6种,映射个数问题:,例5 设A=a,b,c
8、,d,B=x,y,z,从A到B共有多少种不同的映射? 变式: (1)4个人分到3个车间,共有多少种分发? (2)4个人分工栽3棵树,每人只栽1棵,共有多少种不同方案?,（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？,（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军，共有多少种可能的结果？,(3)、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？,(4)、有n个元素的集合的子集共有多少个？,拓展:,(5)、自然数2520有多少个正约数？, 课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多
9、次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？, 课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据分步计数原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。, 课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区
10、域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,问: 若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？,答:它们的涂色方案种数分别是 0, 4322 = 48, 5433 = 180种等。,染色问题:,例6 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色. (1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法? (2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n (1) (2),例7、（1）8张卡片上写着0,1,2,7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？,（2）4张卡片的正、反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在一起，共有多少个不同的三位数？,综合问题:,例8、在一块并排10垅的田地中， 选择2垅分别种植A、B两种作物， 每种作物种植一垅，为有利于作 物的生长，要求A、B两种 作物 的间隔不于6垅，则不同的选垅 方法有（ ）种,例9、书架上原来并排放着5本不同的书，现要插入三本不同的书，那么不同的插法有多少种？,