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1、利用函数性质判定方程解的存在,044 卢爱兰,问题1： 二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根 与二次函数y= ax2+bx+c的图象 都是我们熟悉的内容，他们之 间有些什么关系呢？,x2-2x-3=0,x1=-1, x2=3,y= x2-2x-3,x2-2x+1=0,x1=x2=1,y= x2-2x+1,0,=0,0,无实根,-1,3,1,y,x,x,y,y,x,0,0,0,与X轴的 交点坐标,（-1，0）,（1，0）,（3，0）,无交点,归纳二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根 与二次函数y= ax2+bx+c的关系：,y= x2-2x-3,x1,x2,x1,x2-2x-3=0,x2
2、-2x+1=0,x2-2x+3=0,y,x,x,x,y,y,0,0,0,0,=0,0,问题2：二次函数图象与x轴交点 的横坐标 ,是这个函数 的什么呢?,定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0 的实数 x叫函数y=f(x)的零点,等价,f(x)=0有实根,y=f(x)与x轴有交点,y=f(x)有零点,等价,求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点,问题3:,有很多方程用我们常规的公式法是很难求根的，但 用函数零点这个几何意义，来探讨方程的根的另外一种 方法是否有效呢？,首先，我们来观察一个事实，,在-2，1中有零点，f(-1)=0 有 f(-2)0, f(1)0,但此
3、结论反过来不成立，如： 在-2，4中有根，但 f(-2)0, f(4) 0,如果函数y=f(x)在a, b上的图象是连续不断的一条 曲线，并且f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a, b)内 有零点，即存在c(a, b),使得f( c )=0,这个c 就是方程f(x)=0 的根。,从上面的事实中你能得出什么结论？,如果不要“连续不断”这个条件，结论还会成立吗？ 请举一反例。,如f(x)= 图象如下：,-1,1,有f(-1)xf(1)0 但没有零点，为什么？,例1.判断方程 x2-x+6=0解的存在,y,o,x,4,-4,-6,解:考察函数f(x)= , 其图像为抛物线容易看出，
4、f(0)=-60,f(-4)0 由于函数f(x)的图像是连续曲线，因此，点B (0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必然穿过x轴,即在区间(0,4)内至少有点X1 使f(X1)=0;同样,在区间 (-4,0) 内也至少有点X2,使得f( X2)=0,而方程 至多有两个解，所以在(-4,0),(0,4) 内， 各有一解,x2-x+6=0,x2-x+6=0,x2-x+6=0,例2 已知函数f(x)=3x,-x2 .问f(x)=0在区间-1,0内,有没有实数解?为什么?,解:因为f(-1)=3-1,-(-1)2 =-2/30,f(0)=30,-(0)2 =10,函数f(x)=3x,-x2 的图像是连续曲线,所以f(x)=0,在区间-1,0内有零点,即f(x)=0在区间-1,0内有实数解,例3 判定(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且有一个大于，一个小于,解：考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,有 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，所以抛物线与横轴在（，）内有一个交点，在（ -,2)内也有一个交点，所以方程式(x-2)(x-5)=1有两个相异数解，且一个大于，一个小于,课后作业p133 第2,3题,