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1、第四节 空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,二、 空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,返回,空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设,一、空间曲线的一般方程,和,是两个曲面的方程,它们的交线为C(图7-44).,(1),因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程, 所以应满足方程组,图7-44,例1 方程组,表示怎样的曲线?,解 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 其准线是xOy面上的圆, 圆心在原点O,半径为1.,反过来,如果点M不在曲线C上, 那么它不可能同时在两个曲 面上, 所以它的坐标不满足方程组(1). 因此, 曲线C可以用方 程组(1)来表示.
2、 方程组(1)叫做空间曲线C的一般方程.,方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面, 由于 它的准线是zOx面上的直线, 因此它是一个平面.,方程组就表示上述平面与圆柱面的交线, 如图7-45 所示.,图7-45,x,y,z,O,例2 方程组,表示怎样的曲线?,解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半径为a 的上半球面., 半径为,第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 它的准线是xOy,面上的圆, 这圆的圆心在点,返回,二、空间曲线的参数方程,空间曲线C的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C上动点的坐标x，y，z表示为参数t的函数:,(2),当给定,时,就得
3、到C上的一个点,随着t的变动便可得曲线C上的全部点.,方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.,都是常数), 那么点M构成的图形叫做螺旋线. 试建立,例3 如果空间一点M在圆柱面,上以角速度,绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其 中,其参数方程.,解 取时间t为参数. 设当,时,处. 经过时间t, 动点由A运动到,(图7-47).,动点位于x轴上的一点,图7-47,h,记M在xOy面上的投影为,的坐标为,由于动点在圆柱面上以角速度,绕z轴旋转,所以经过时间t,从而,由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升, 所以,因此螺旋线的参数方程为,也可以用其他变量作参数; 例如令
4、, 则螺旋线的参数,方程可写为,这里, 而参数为,螺旋线是实践中常用的曲线. 例如, 平头螺丝钉的外缘曲线 就是螺旋线. 当我们拧紧平头螺丝钉时, 它的外缘曲线上的 任一点M, 一方面绕螺丝钉的轴旋转, 另一方面又沿平行于 轴线的方向前进, 点M就走出一段螺旋线.,螺旋线有一个重要性质: 当,从,变到,时,z由,变到,特别是当,转过一周, 即,时, M点就上升固定的,高度,. 这个高度,在工程技术上叫做螺距.,这说明当,转过角,时,M点沿螺旋线,上升了高度,即上升的高度与,转过的角度成正比.,* 曲面的参数方程,下面顺便介绍一下曲面的参数方程. 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程, 形如,例
5、如空间曲线,绕z轴旋转, 所得旋转曲面的方程为,（4）,这是因为, 固定一个t, 得,上一点, 点,上, 其半,径为点,到z轴的距离, 因此, 固定t的方,程(4)就是该圆的参数方程. 再令t在,内变动,方程,(4)便是旋转曲面的方程.,例如直线,绕z轴旋转所得旋转曲面(图7-48)的方程为,(上式消去t和,得曲面的直角坐标方程为,),图7-48,y,z,x,o,又如球面,可看成zOx面上的半圆周,绕z轴旋转所得(图7-49), 故球面方程为,图7-49,x,y,z,O,返回,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线C的一般方程为,(5),现在我们来研究由方程组(5)消去变量z后所得的方程,(
6、6),由于方程(6)是由方程组(5)消去z后所得的结果, 因此当x，y 和z满足方程组(5)时, 前两个数x，y必定满足方程(6), 这说明 曲线C上的所有点都在由方程(6)所表示的曲面上.,由上节知道, 方程(6)表示一个母线平行于z轴的柱面.,所表示的曲线必定包含空间曲线C在xOy面上的投影.,同理, 消去方程组(5)中的变量x或变量y, 再分别和x=0或y=0联 立, 我们就可得到包含曲线C在yOz面或xOz面上的投影的曲线 方程:,或,由上面的讨论可知, 这柱面必定包含曲线C. 以曲线C为准线, 母线平行于z轴(即垂直于xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面 的投影柱面, 投影柱面与x
7、Oy面的交线叫做空间曲线C在xOy面 上的投影曲线, 或简称投影. 因此,方程(6)所表示的柱面必定包 含投影柱面, 而方程,例4 已知两球面的方程为,(7),和,(8),求它们的交线C在xOy面上的投影方程.,解 先求包含交线C而母线平行于z轴的柱面方程. 因此要由 方程(7), (8)消去z, 为此可先从(7)式减去(8)式并化简, 得到,再以z=1-y代入方程(7)或(8)即得所求的柱面方程为,容易看出, 这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程, 于是两球 面的交线在xOy面上的投影方程是,在重积分和曲面积分的计算中, 往往需要确定一个立体或曲 面在坐标面上的投影, 这时要利用投影柱面和投影曲线.,例5 设一个立体由上半球面,和锥面,所围成(图7-50), 求它在xOy面上的投影.,解 半球面和锥面的交线为,由上列方程组消去z, 得到,图7-50,这是xOy面上的一个圆, 于是所求立体在xOy面上的投影, 就是该圆在xOy面上所围的部分:,.,这是一个母线平行于z轴的圆柱面, 容易看出, 这恰好是交线 C关于xOy面的投影柱面, 因此交线C在xOy面上的投影曲线为,返回,