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1、精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,4.1 单时期的随机模型,4.2 多时期库存模型,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,确定型存储问题中，货物的需求是确定的，订货费用和计划期的存储费用都是已知的，甚至缺货的成本都作为常数来考虑。 随机型存储问题最重要的特点是需求（速度）量是随机的 ，订货策略较复杂，实际的库存管理中，订货策略多种多样 ：按订单发出的条件来分，可分为警戒点订货法和定期订货法；按照订货量来分，可分为定量订货法与补充订货法。,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,4.1 单时期的随机模型 单时期随机需求问题中最典型的是所谓报童问 题，在一个时期只订货一次以满足整个时期的需
2、 求量，这种模型称之为单时期随机需求模型。 模型假设如下： 在周期开始时做一次订货决策，设订货量为 瞬时供货 一个周期内需求量 是非负随机变量，其,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,分布函数及密度函数都已知。 初始库存量为零，且固定订购费也为零 决策准则是使期望总费用达到最小或期望总收益最大 。 下面分别就离散型与连续型两种情况进行讨论 1.离散型随机模型设 在一个时期 内 ，需求量 是一个非负的随机变量，假设 的取值为 ，相应的概率 已知，最优存储策略是使在 内,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,总费用的期望值最小或收益最大。 设 为供过于求时单位产品总成本（存储成本及买价）、
3、为供不应求时单位产品总成本（缺货成本）。 1)总费用的期望值最小的订货量 一个时期内的订货费为零（或常数），单位产品的获得成本已包括在 中。当需求为 时，市场上实际卖出产品数量将为 本期的缺货量为 ，,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,库存量 。因此总费用最小的订货模型只包括上述两项费用 （7.4.1）由于取 离散值，所以不能用求导的办法而采用边际分析法求极值。为此最佳订货量 应满足 ，当 时 ，当 时,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,解之： （7.4.2）2)总收益期望值最大的订货量 当订货量 时,收益为 式中 为货物的卖出价， 为货物购买价， 为积压品的处理价（ ）， 为积压
4、品仓储成本。,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,此时，收益的期望值为 当订货量 时，收益为 式中为缺货成本，收益的期望值为： 总收益期望值为 = + （7.4.3）,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,求其最优解，与（7.4.2）相同。 报童问题:报童每天售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸赚 元，如报纸未能售出，每份赔 元。报童每日售出报纸份数 的概率 根据以往的经验是已知的，问报童每日最好准备多少份报纸? 由于报纸的份数只能取整数，所以 与 同时成立,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,解之最优应满足： （7.4.4） 例7.4.1 某设备上有一关键零件常需更换，更换需
5、要量服从泊松分布，根据以往的经验平均需要量为5件，此零件的价格为100元件，若零件用不完，到期末就完全报废，若备件不足，待零件损坏了再去订购就会造成停工损失180元，问应备多少备件最好？,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,解：由于零件是企业内部使用，零件被耗用时不构成浪费，故认为这时被“售出”，其收益为未造成的停工损失，少损失即认为收益180元；零件未被耗用，认为出现“积压”造成浪费，损失的是成本100元。 泊松分布函数为 = = 0.6428 查泊松分布表， =0.6159， =0.7621， 即最好准备6件零件。,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,例7.4.2 某货物的需求量在
6、14至21件之间，每卖出一件可赢利6元，每积压一件，损失2元，问一次性进货多少件，才使赢利期望最大？ 表7.4.2,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,解： = =0.75 可以看出 =0.65， =0.83。所以 取19最佳。 2.连续型存储模型 设需求量 为连续的随机变量，其概率密度为 ，此处 0。单位货物的购买,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,成本为 ，单位货物售价为 ，计划期单位存储费为 元，可先不考虑缺货成本。 设订货数量为 ，货物需求量为 ，此时货物的销量应为 。 需支付存储费 。 即只有有库存时，才支付存储费。 本阶段的盈利 = - -,精品课程运筹学,第四节 随机型
7、存储模型,盈利的期望为 = - （7.4.5） 上式后部分的期望，分别是因缺货失去销售机 会出现损失、因滞销出现仓储费及购买价，而 = - 易看出：求盈利最大与求损失期望最小是等价的,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,利用 是 的连续、可微函数，要求 =0即可得出 应满足下面方程： = （7.4.6）并且可验证此为最优解。 当模型中期末的存货在当期必须处理时： 满足 = （7.4.7）如果缺货时还要付出费用 ，则 满足 = （7.4.8),精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,例7.4.3 某时装商店计划冬季到来之前订购一批款式新颖的皮制服装。每套皮装进价是1000元，估计可以获得80
8、的利润，冬季一过则只能按进价的50处理。根据市场需求预测，该皮装的销售量服从参数为160的指数分布，求最佳订货量。 解：已知 1000， 1800， =500， 800， 500,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,由 临界值为 =0.6154 =1- =0.6154 =-60 57（件）,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,4.2 多时期库存模型 多时期库存模型是考虑时间因素的一种随机动态库存模型，与单时期库存模型的不同之处在于：每个周期的期末库存货物对于下周期仍然可用。最常用的是 策略。 1需求是随机离散的多时期(s，S)库存模型 模型的特点在于订货的机会是周期出现。假设在一个阶段
9、的开始时原有库存量为 ，若供不应求，则需承担缺货损失费；若供大于求，,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,则多余部分仍需库存起来，供下阶段使用 。当本阶段开始时，按订货量 ，使库存水平达到 ，则本阶段的总费用应是订货费、库存费和缺货费之和。 设货物的单位成本为 ，单位库存费为 ，缺货损失为 ，每次订货费为 ，需求为 ，概率分布为 ，为方便可设 。 解得 （7.4.9),精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,例7.4.3设某企业对于某种材料每月需求量的资料如下：,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,每次订货费为400元，每月每吨保管费为40元，每月每吨缺货费为1400元，每吨材料的购置
10、费为752元，该企业欲采用 库存策略来控制库存量，试求出 之值。 解：由题知 =752元 ， =40元， 1400元。 临界值 =0.45。 由 ， = =82吨。,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,如 =40吨，则需补充42吨货物。此时期望费用为42652元. 2.需求是随机连续的多时期( )模型 设货物的单位成本为 ，单位库存费为 ，单位缺货损失费为 ，每次订货费为 ，假定滞后时间为零，需求 是连续的随机变量，概率密度为 ，期初库存量为 Q0 ，订货量为Q。确定 ，使总费用的期望值最小。,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,现考虑的费用有订购费、库存费、缺货损失费。解之 （7.4
11、.10） 称 为临界值，由上式可定出 ，再由 可确定最佳订货量。 例7.4.4某商场经销一种电子产品，根据历史资料，该产品的销售量服从在区间50，100的均匀分布，每台产品进货价为3000元，单位库存费为40元，若缺货，商店为了维护自己的,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,信誉，将以每台3400元向其他商店进货后再卖给顾客，每次订购费为400元，设期初无库存，试确定最佳订货量及 值。 解：由题知 =3000， =40， =3400， =400， 临界值 =0.1163,精品课程运筹学,第四节 随机型存储模型,50 其他 由 =0.1163 56（台）， 56（台） 此时，费用期望值为 + + =235792（元）,