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1、第四节 空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影,一、空间曲线的一般方程,空间曲线C可以看作两个曲面的交线，设两个曲面的方程为:,S1:F(x,y,z)=0 和 S2:G(x,y,z)=0,则：,为空间曲线C的一般方程.,解:,例1 方程组,表示怎样的曲线?,若将曲线C上动点的坐标x、y、z 表示为参数t的函数，则,二、空间曲线的参数方程,为空间曲线的参数方程.,例3 如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中、都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.,解
2、： 取时间t为参数.设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处.经过时间t，动点由A运动到M(x,y,z).记M在xOy面上投影为 ， 的坐标为x,y,0.由于动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，所以经过时间t，AOM=t.从而,由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升，所以 z=MM= vt,因此螺旋线的参数方程为,也可以用其他变量作参数;例如令=t，则螺旋线的参数方程可写为,这里 ，而参数为.,1、曲线C关于xOy平面的投影柱面 由曲线C的一般方程：,三、空间曲线C在坐标面上的投影,消去z得：H(x,y)=0,此柱面H(x,y)=0称为空间曲线C在xOy平面的投影柱面.,H(x,y)=0是以曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面.,2、曲线C在xOy面上的投影(曲线) 投影柱面H(x,y)=0与xOy平面的交线，叫做曲线 C在xOy面上的投影(曲线)，即投影，其方程为:,同理，曲线C在yOz平面的投影曲线方程为:,曲线C在xOz平面的投影曲线方程为：,例4 已知两球面的方程为和 ,求它们的交线C在xOy面上的投影方程.,解: 先求两方程消去z而得的母线平行于z轴 的交线C，关于xOy面的投影柱面方程为：,例5 设一个立体由上半球面,解: 半球面和锥面的交线为:,这是一个母线平行于z轴的圆柱面.,所求立体在xOy面上所围的的投影:,交线在xOy面上的投影曲线为:,