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1、1,简单的鹿群增长问题,10.1实验目的,本实验涉及差分方程组和线性代数的若干知识，通过本实验介绍解决实际问题的离散方法及差分方程组的求解方法，并让学生通过计算机学习对矩阵的特征值、特征向量及将矩阵对角化的处理方法。,10.2实验内容,假设在一个自然生态地区生长着一群鹿，在一段时间内鹿群的增长受资源制约的因素较小。这里所说的资源包括：有限的食物、空间、水等。试建立一个简单的鹿群增长模型，并以适当的数据给出结果。,2,1、问题的分析,由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此仅考虑母鹿的增长。鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切相关，因为鹿的生育周期为一年，即一岁以上的母鹿可以生育，所以我们把母鹿分为
2、两组，一岁以下的为幼鹿，其余的为成年鹿。根据这样的分组，一年以后存活的幼鹿都为成年鹿，而这一年中出生的鹿构成新的幼鹿。从以上的分析，我们可把观测的时间间隔取为一年。,2、模型假设,）动物的数量足够大，故可以用连续的方法来度量。,）只考虑母鹿，并将其分为两组，一岁以下为幼鹿组，其余为成年鹿组。,3,）把时间离散化，每年观测一次，即环境因素、生育、死亡方式等每年重复发生。,）不考虑饱和状态，即在所考虑的时间段内，种群的增长几乎不受自然资源的制约。,）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡数与鹿的总数成正比。,）鹿的生育数与鹿的总数成正比。,3、模型的建立与求解,分别以,和,表示第n年幼鹿和成年鹿的数量。,
3、一年后，幼鹿存活的数量与,之比叫做幼鹿的存活率。,由假设，每年的存活率是一常数，分别以,和,表示幼鹿和成年鹿的存活率。,4,因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁，因而有生育能力。根据假设，生育率也是常数，,分别以,和,表示幼鹿和成年鹿的生育率。,假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s。,一年以后，原来的幼鹿可生育幼鹿数为,成年鹿可生育的幼鹿数为,由于哺乳期的新生幼鹿的存活率为s，,所以一年以后新的幼鹿数：,(10.1),一年以后，原来的幼鹿存活数为,原来的成年鹿的存活数为,所以新的成年鹿的数目是,(10.2),5,(10.1).(10.2)联立起来，即得下面的线性差分方程组：,(10.3),或
4、用矩阵表示为：,(10.4),这是一个一步方程，令,， A=,则(10.4)式可表示为,(10.5),6,于是可推出：,或,=,n,(10.6),如果知道开始时幼鹿数量,和成年鹿的数量,，由(10-6)可算出第n年的鹿的总数。,为了给出解的一般表达式，先把矩阵A对角化：,令,=0,即,得特征方程：,(10.7),7,其判别式为,=,由于s,都是大于零的，所以判别式 0，,和,矩阵A可以对角化。,特征方程(10.7)有两个相异的实根,，这保证了,对于特征根,，从下面的线性方程组,=,可解得特征向量,同理可解得对应于特征根,的特征向量,8,所以可得矩阵 P,使得,A,即,于是得,将上式代入(10-6)式,=,9,=,记,=,(10.8),所以,=,=,10,由此可得：,n,故解得：,(10.9),现在利用公式(10.9)对下面的一组数据,0.8（千头）,0.3,0.62 s0.8,1 （千头）,1.5,0.75,11,计算今后6年鹿的总数。,为此，将以上数据代入(10.7),解得,将数据代入(10.8)得,最后由(10.9)得,12,4、模型评价,该模型的假设中，没有考虑资源的制约，所以当鹿群的增长接近饱和状态时，该模型失效。如果考虑自然资源的制约，则模型假设中的第条不成立，这时生育率与食物的获取有关。,10.3 实验任务,