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1、第1章 矢量分析,一、矢量的运算法则,二、矢量微分元：线元，面元，体元,三、标量场的梯度,散度，和旋度*,四、重要的场论公式,标量积（点积）：,推论1：满足交换律,推论2：满足分配律,推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。,推论1：不服从交换律：,推论2：服从分配律：,推论3：不服从结合律：,推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。,矢量积（叉积）：,矢量微分元：线元、面元、体元,例：,其中： 和 称为微分元。,1. 直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,2. 圆柱坐标系,在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图
2、，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,3. 球坐标系,在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即：,b. 在柱坐标系中，坐标变量为 , 其中 为角度， 其对应的线元 ，可见拉梅系数为：,在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为 角度，其拉梅系数为：,注意：,梯度定义,标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。,数学表达式：,标量场的梯度,标量场的场函数为,在柱坐标系中：,在球坐标系中：,在任意正交曲线坐标系中：,在不同的坐标系中，梯度的计算公式：,在直角坐
3、标系中：,散度：,a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。,b.表达式：,c.散度的计算：,散度定理：,物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。,矢量场的旋度,1. 环量：,在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。,可见：环量的大小与环面的方向有关。,2. 旋度:,定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环 的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。,表达式：,旋度计算：,以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：,旋度可用符号表示：,斯托克斯定理：,七、重要的场论公式,1. 两个零恒等式,任何标量场梯度的旋度恒为零。,任何矢量场的旋度的散度恒
4、为零。,常用的矢量恒等式,一、场量的定义和计算,(一) 电场,(二) 电位,(三) 磁场,(四) 矢量磁位,二、麦克斯韦方程组的建立,(一) 安培环路定律,(二) 法拉第电磁感应定律,(三) 电场的高斯定律,(四) 磁场的高斯定律,(五) 电流连续性方程,第2章 电磁学基本理论,三、麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式,库仑定律,其中： 为真空中介电常数。,电场强度的计算,其中： 是源电荷指向场点的方向。,(1) 点电荷周围电场强度的计算公式：,电流元,电流元 在空间所产生的磁感应强度为：,该式称为毕奥萨伐尔定律。,安培力实验定律：,磁感应强度的计算,其中： 为真空磁导率。,得到：,比较,2.
5、矢量磁位的引入,根据矢量恒等式：,引入矢量 ，令 则：,该矢量 称为矢量磁位，单位为韦伯/米（Wb/m）。,3. 矢量磁位的计算,规范条件：,对线电流的情况：,已知：,a.线电流矢量磁位计算,利用矢量恒等式：,则：,矢量磁位：,该式为线电流产生的磁场中的矢量磁位计算公式。,为零！,（二）麦克斯韦方程组的微分形式,积分形式:,微分形式:,注意：麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒体的物理性质 不发生突变的区域。,微分形式的麦克斯韦方程组给出了空间某点场量之间及场量与场源之间的关系。,第3章 媒质的电磁性质和边界条件,一、 导体,电磁介质(物态方程，电导率，磁导率等概念）,二、媒质中的麦克斯韦方程组,
6、三、电磁场的边界条件(三类，8个边界条件）,引言,四、媒质中的麦克斯韦方程组,积分形式 微分形式,三个物态方程：,电磁场的边界条件,决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。,1. 电场法向分量的边界条件,如图所示，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律,故：,因为：,2. 电场切向分量的边界条件,在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd ,在此回路上应用法拉第电磁感应定律,因为,故：,该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。,或,因为,若媒质为理想导体时：,理想导体表面没有切向电场。,3. 标量电位的边界条件,在两种媒质分界面上取两点，分别为A和B，如图 ，从标量电位的物理意
7、义出发,该式表明：在两种媒质分界面处，标量电位是连续的。,故：,因为：,在理想导体表面上：,（常数）,4. 磁场法向分量的边界条件,在两种媒质分界面处做一小柱形闭合面，如图,在该闭合面上应用磁场的高斯定律,则：,该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。,因为,若媒质为理想导体时,由于理想导体中的磁感应强度为零， 故:,因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。,5. 磁场切向分量的边界条件,在两种媒质分界面处做一小矩形闭合环路，如图,在此环路上应用安培环路定律,于是：,或：,若：,即：在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。,6. 矢量磁位的边界条件,矢量磁位在分界面处也
8、应是连续的，即,7. 标量磁位的边界条件,在无源区域，安培环路定律的积分和微分形式为:,标量磁位,根据标量磁位定义和磁场的边界条件可得：,和,8. 电流密度的边界条件,在两种导电媒质分界面处做一小柱形闭合面。如图,根据电流连续性方程,或,得：,根据：,或,电磁场中各参量的边界条件，归纳如下。 标量形式 矢量形式,第4章 静态场分析,静态场的工程应用,一、静态场特性,二、泊松方程和拉普拉斯方程,三、静态场的重要原理和定理,四、镜像法*,五、分离变量法*,静态场的麦克斯韦方程组 静态场与时变场的最本质区别：静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。,静电场的泊松方程和拉普拉斯方程,二、泊松方程和拉普拉
9、斯方程,静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。,泊松方程,拉普拉斯方程,无源区域,拉普拉斯算子 直角坐标系,圆柱坐标系,球坐标系,3. 惟一性定理,边值问题的分类 狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值 聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合 惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的。 用反证法可以证明。,镜像法,镜像法概念： 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。 应注意的问题：,待求场域：上半空间 边界： 无限大导体平面 边界条件：,点电荷对无限大接地导体平面的镜像,在空间的电位为点电荷q 和镜像
10、电荷 -q 所产生的电位叠加，即,电位满足边界条件,导体平面边界上：,点电荷对无限大介质平面的镜像,设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。,当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q,介质1中任一点的电位和电位移矢量分别为：,线电流对无限大磁介质平面的镜像,6. 点电荷对导体球面的镜像,接地导体球 不接地导体球,分离变量法*,理论基础 惟一性定理 分离变量法的主要步骤 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其
11、中含有待定常数。 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。,第5章 场论和路论的关系,一、 欧姆定律 二、 焦耳定律 三、 电阻,电容，电感的计算*,电阻的计算,设和电流线垂直的两个端面为等位面，两端面之间的电压降为：,根据定义可得到两端面间导电媒质的电阻R为：,通过任意横截面S的电流为：,电容,1.孤立导体的电容,式中： 为导体所带的电荷量， 为导体的电位。,2. 双导体系统的电容,包括自感 L 和互感 M 。,电感,在正弦交流电路中，若只含一个纯电感时，如图所示。电感上的电压和电流的关系为,当电路包括两个以上电感线圈时，如图所示。电感上的电压和电流的关系为：,1.
12、 概念:,第6章 平面电磁波,引言,一、平面电磁波的概念,三、平面电磁波在无耗介质中的传播特性*(计算),二、均匀平面波的特性,四、均匀平面波在有耗媒质中的传播规律*,五、均匀平面波的极化特性,六、均匀平面波对平面边界的垂直入射*,七、多层介质分界面上的垂直入射,八、均匀平面波对平面边界的斜入射*,第8章 电磁波的辐射,一、辐射的基本概念,二、滞后位,三、电偶极子的辐射*,四、磁偶极子的辐射(不要求）,五、对称振子天线的辐射*,六、 天线阵的辐射,（4）电偶极子远区场,电场和磁场与 成反比；,电场和磁场的相位相同；,电场和磁场在空间相互垂直，其比值等于媒质的本征阻抗;,平均坡印廷矢量:,上式表明有能量向外辐射，说明一个做时谐震荡的电流元可以辐射电磁波。远区场又称为辐射场。,在远离电偶极子的区域，当 ， , 此时电磁场可近似为:,可见：,辐射场,