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1、,例3 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续型r.v., 其概率密度为,(1) 求常数 c;,(3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.,(2) 计算,1. 均匀分布,X的分布函数为,对任意长度为l的子区间(c, c+l), a c c+l b，都有,若XU(a, b), 则X具有下述等可能性： X落在区间(a, b)中任意长度相同的子区间里的概率是相同的. 即X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度, 而与子区间的位置无关.,一维几何概型. r.v. X取值在区间(a, b) 上, 并且取值在(a, b)中任意
2、小区间内的概率与这个小区间的长度成正比, 则X 在(a,b)上服从均匀分布. 如:一段时间内乘客到达车站的时刻、四舍五入引起的误差等一般都服从均匀分布.,例4 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产生的随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.,均匀分布的实际背景,例5 某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45时刻有汽车到达此站, 如果乘客在7:00 到7:30之间任何时刻都有可能到达此车站, 试求他候车时间少于5分钟的概率.,设随机变量X具有概率密度,其中0为常数, 则
3、称X服从参数为的指数分布,记作X E ()或e().,2. 指数分布,其分布函数为,指数分布的另一种表示形式,则称X服从参数为0的指数分布. 其分布函数为,0,指数分布通常用于描述对某一事件发生的等待时间, 例如: 乘客在公共汽车站的候车时间、 某些元件或设备的使用寿命(等待用坏的时间) 、电话交换台收到两次呼叫之间的时间间隔等.,应用背景:,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布.,若 X E(), 则,指数分布的“无记忆性”,事实上,【注】指数分布通常用于描述对某一事件发生的等待时间, 而在离散型分布中, 几何分布用于描述事件A发生(试验成功)所进行的试验次数, 如果将每次试验视为经历一个单
4、位时间(离散时间), 则直到试验成功为止, 试验总次数相当于直到试验成功所等待的时间. 在此意义上, 指数分布可视为离散情形下的几何分布在连续情形下的推广.,指数分布与几何分布都具有“无记忆性”,连续型,离散型,3. 正态分布 (亦称高斯(Gauss)分布),正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，它在概率统计中占有特别重要的地位.,正态概率密度的合理性,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”,由此特点知正态分布描述随机变量取值中间概率大,两头概率很小的随机现象.,正态分布 图形特点,应用背景(可用正态分布描述的实例极多),另一方面,
5、 有些分布(如二项分布、泊松分布)的极 限分布是正态分布. 所以, 无论在实践中, 还是在理 论上, 正态分布是概率论中最重要的一种分布.,二项分布向正态分布的转换,正态概率密度函数的几何特征, 位置参数.,思考,= -2, 形状参数. ( 大小与曲线陡峭程度成反比),正态分布的分布函数,问题 正态分布下的概率计算问题如何解决?,此时,原函数不是初等函数!,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,【注】标准正态分布的密度函数为偶函数.,标准正态分布的图形,【几个常用结论】,对于标准正态分布的分布函数(x)的函数值，书后附有标准正态分布表(教材P439). 表中只给出了x0的函数值.当x0时，可利用(x)=1(x)计算得到.,证明,通过线性变换将一般正态分布转化为标准正态分布. 此引理解决了一般正态分布的概率计算问题.,证明,解,【结论】 一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小.,