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1、,转化,可分离变量微分方程,第二节,可分离变量方程,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微 G(y) g(y)0,时,由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两
2、边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,练习:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,例4.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,建模: 相关变量, 有:,(初始条件),已知 t = 0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,问题, 求:,条件:,解: 根据题意, 有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规
3、律为,然后积分:,例5.,成正比,求,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,建模: 相关变量, 有:,(初始条件),问题, 求:,条件:,根据牛顿第二定律,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,t 足够大时,例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 水面的高度 h 随时间 t 的变化规律.,求水,小孔横截面积,建模, 相关变量, 有:,问题, 求:,条件分析:,由水
4、力学知, 水从孔口流出的流量为,即,(1),解:,设在,内水面高度由 h 降到,对应下降体积,(2),综合(1)与(2)式, 得:,微量分析 列方程,因此得微分方程定解问题:,将方程分离变量:,两端积分, 得,利用初始条件, 得,因此容器内水面高度 h 与时间 t,通解,有下列关系:,内容小结,1. 可分离变量方程的求解方法:,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ),2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ),3) 根据微量分析列方程 ( 如: 例6 ),2. 解微分方程应用题的方法和步骤,(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.,作业 P 269 1(1)(5)(7)(10); 2 (3)(4) ; 4 ; 5,课堂练习,课堂练习参考答案,课堂练习参考答案,备用题1 已知曲线积分,与路径无关, 其中,求由,确定的隐函数,解:,因积分与路径无关 , 故有,即,因此有,备用题2,求下列方程的通解 :,提示:,(1) 分离变量,(2) 方程变形为,