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1、第三章 电路分析的网络方程法,Chapter 3,教学目的,Chapter 3,1.了解电路图论的一些初步知识。,2.理解电路KCL和KVL独立方程数的确定方法。,3.掌握电路分析的2b方程法和支路电流法。,教学内容概述,先介绍电路图论的初步知识，从而确定出KCL和KVL 的独立方程数。 2b方程法和支路电流法是KCL和KVL的 独立方程在电路方程法中的直接应用。,教学重点和难点,重点：电路 KCL和KVL独立方程数。,难点：电路KCL和KVL的独立方程数是如何确定的。,网络方程法是求解电路的系统化方法。,Chapter 3,基本思路是：选择电路变量，以KCL、KVL、VCR建立电路的方程组，
2、然后进行求解。由所得结果还可推出其他待求量。,3-1 电路的拓扑结构,Chapter 3,为了给出电路的独立方程，先讨论电路的拓扑结构。,一. 电路的图及其基本术语,1. 电路的图：节点和支路的集合，且每条支路的两端都联到相应的节点上。,2. 节点：线段的端点。,（如图示）,(如图示),3.支路：两节点间的线段。,4. 有向图：将各支路电流 （或电压）参考方向设定为支 路方向，画在图中，构成了有 向图。,5. 连通图：图中任意两个节点之间至少存在一条路 径时，称此图为连通图。,Chapter 3,(如图示),(如图中黑线所示),6.子图：若图G1为图G的一部分，则称图G1是图G的子图。,Cha
3、pter 3,7.树（T）：图G的树是指含有图G的全部节点，但不含有任何回路的连通子图。,8.树支：组成树的支路。,设：电路有n个节点，b条支路，则树支数=n-1,9.连支：图G中除树支以外的其他支路。连支数=b-(n-1),(如图示),(如图示),二基本割集与基本回路,Chapter 3,1. 割集：图G的割集是部分支路的集合。这些支 路满足：,（1）移去这些支路图G分离为两个子图；,（2）少移去其中一条支路，图仍为连通图。,割集可为（1，6，2）；,（5，6，7，8）；,（2，6，5，8，3）等,如图示：,2基本割集,Chapter 3,只含有一条树支的割集。又称为单树支割集。,如图示：先
4、选树（图中红色线段）,基本割集有：,C2 （4，5，6，2）,C3 （5，6，7，8）,C4 （7，3，2）,图G基本割集数= n-1(为树支数),C1 （1，6，2）,3基本回路：,Chapter 3,只含有一条连支的回路，又称为单连支回路。,如图示：,基本回路有：,l2 （7、3、8）,l3 （4、1、2、3）,l4 （1、6、8 、 4）,基本回路数=连支数,为b-(n-1),一般选基本回路的方向与单连支方向一致。,l1 （4、5、8）,说明:利用基本割集列写的KCL方程及利用基本回路列写的 KVL方程都是独立的方程。,Chapter 3,如:KCL,C1: -i1+i2+i6=0,C2
5、: -i2 - i6 - i5 - i4=0,C3: - i5 - i6+i7+i8=0,C4: - i2+i3 - i7= 0,以上任意两个或三个方程相加减都得 不到剩余的方程。,所以，独立的KCL方程数为4个（即n-1个）。,同理，独立的KVL方程数为基本回路数，即b-(n-1)个。在该例中是4个。,3-2 2b方程法,Chapter 3,基本思路：以支路电流和支路电压为电路变量， 列写支路电压电流方程、KCL、KVL方程，联立求解。,设电路为n个节点、b条支路，则,独立KCL方程：,独立KVL方程：,b-(n-1)个,总数：,2 b个,所以称为2b方程法。,支路电压电流方程:,n-1个,
6、b个,Chapter 3,例3-1写出图示电路的2b方程。,解：（1）定义支路： 如图所示,设各支路电压与电流取关联参考方向。,（2）画电路图并编号（有向图）；,此方法相当于选1、3、5为树后列写的基本割集方程。,Chapter 3,（3）列写出独立的KCL方程；,可以列写n-1个（3个）基本割集KCL方程。,在这里对节点n1、n2、n3 、 n4列写KCL方程，有：,独立,不独立,(+,（4）列写出独立的KVL方程；,Chapter 3,对基本回路列写KVL方程b-(n-1)=3个独立方程。习惯上平面电路选网孔列KVL方程。,u1=-us1+R1i1,u2=R2i2,u3=R3i3,u4=R
7、4i4,u5= R5i5+R5is,u6=R6i6,12个方程，联立可解得各支路电压、电流。,（5）列写出支路电压电流方程,(如图示),独立,（4）利用计算机求解2b方程组。,Chapter 3,（1）支路的定义原则上是任意的，习惯上按本例的方式定义。,（2）原则上列写KVL、KCL方程应是基本回路和基本割集方程。习惯上列写网孔方程和n-1个节点方程。,（3）2b法可以推广到含受控源电路。,讨论：,3-3 支路（电流）法,Chapter 3,基本思路：以支路电流为电路变量，列写n-1个独立节点KCL方程，对独立网孔列写KVL，同时将VCR代入得到b个独立方程，求解。,例3-2 在例3-1中，写
8、出支路电流方程。,Chapter 3,解：列写独立的KCL方程,列写独立网孔的KVL方程并将VCR代入整理得：,l1: R1i1+R2i2 +R3i3=us1,(也可直接列写独立的KVL方程）,l2: -R3i3+R4i4 +R5i5= -R5 iS5,l3: -R2i2-R4i4 +R6i6= 0,共6个方程。,.,支路电流法解题步骤归纳如下：,Chapter 3,（1）设定各支路电流的参考方向；,（2）指定参考点，对其余（n-1）个独立节点列写（n-1）个KCL方程；,（3）通常选网孔为独立回路，设定独立回路绕行方向，进而列出b-(n-1)个由支路电流表示的KVL方程；,（4）联立求解2、
9、3两步得到的b个方程，求得b条支路的支路电流；,（5）由支路电流和各支路的VCR关系式求出b条支路的支路电压。,小结： 1.对于n个节点，b条支路的电路： 独立的KCL方程数为n-1个；独立的KVL方程数为b-(n-1)个。 2.2b方程法和支路电流法是KCL、 KVL的直接应用。 2b方程法：电路变量是支路电压和支路电流，共2b个， 列写出(n-1)个独立的KCL方程， b-(n-1)个独立的KVL方程以 及b个支路电压电流方程，共2b个方程联立求解。 支路电流法：电路变量为支路电流，共b个，列写出(n-1) 个独立的KCL方程，b-(n-1)个独立的KVL方程同时代入支路 电压电流关系，共
10、b个方程联立求解。,Chapter 3,例2-10 用支路电流法求图示电路各支路电流。,选定并标出支路电流I1、I2、I3。由节点a按KCL，有,选定网孔绕行方向，由网孔按KVL，有,由网孔，按KVL，有,I1=3A，I2=-2A，I3=1A,联立以上三个式子，求解得,例2-11 用支路电流法求图示电路各支路电流。,标出支路电流I1、I2、I3和电流源端电压U0，并选定网孔绕向。列KCL 和KVL方程得,补充一个辅助方程,联立方程组得,支路中含有恒流源的情况,支路电流未知数少一个,是否能少列 一个方程?,结果：2个未知电流 + 1个电压未知 = 3个未知数，由3个方程求解。,不能,教学目的,C
11、hapter 3,1.熟练掌握含电阻及电压源和电流源电路的节点分析法。,2.会用节点分析法求解含受控源电路。,教学内容概述,详细讨论：.只含电导和电流源电路的节点分析法；,.含电阻及电压源电路的节点分析法；,.含受控源电路节点法的具体使用方法。,教学重点和难点,重点：含电阻电压源和电流源电路的节点分析法。,难点：用节点分析法求解含受控源电路。,3-4 节点分析法,Chapter 3,基本思路：以节点电压为电路变量，列写KCL方程组，根据VCR用节点电压表示支路电流，并代入KCL方程组中，得到节点电压方程组。求解出节点电压，由此还可进一步求得其他电量。,电路分析,设独立结点的电位为Va、Vb。图
12、示各支路电流与结点电位存在以下关系式：,将前页式代入上式子得,对结点a、b分别列写KCL方程,整理得,可以概括为如下形式,规律： （1）Gaa、Gbb分别称为结点a、b的自导，Gaa=G1+G2+G3，Gbb=G2+G3+G4+G5，其数值等于各独立结点所连接的各支路的电导之和，它们总取正值。 （2）Gab、Gba称为结点a、b的互导，Gab=Gba=(G2+G3)，其数值等于两点间的各支路电导之和，它们总取负值。 （3）Isaa、Isbb分别称为流入结点a、b的等效电流源的代数和，若是电压源与电阻串联的支路，则看成是已变换了的电流源与电导相并联的支路。当电流源的电流方向指向相应结点时取正号，
13、反之，则取负号。,一般形式：,结点电位法的一般步骤如下： （1）选定参考结点O，用“”符号表示，并以独立结点的结点电位作为电路变量。 （2）按上述规则列出结点电位方程。 （3）联立并求解方程组，求得出各结点电位。 （4）根据结点电位与支路电流的关系式，求得各支路电流或其他需求的电量。,例2-14 用结点电位法求图示电路中各支路电流。,设结点电位为Va、Vb，列方程为,根据图中标出的各支路电流的参考方向，可计算得,例3-5 求图示电路中各电阻元件的电流。,Chapter 3,解：选参考点o及节点电压u1、u2。,用观察法列节点方程：,节点1：,节点2：,解得：,Chapter 3,u1=20.7
14、4V u2=9.85V,所以：,含理想电压源支路的节点分析法,例3-6 图示电路，试用节点法求Ix。,解得： u1=14V u2=12V u3= 4V I=-1A,Chapter 3,解：方法一：选择参考点及节点 电压(如图示)。,所以：,(附加方程),设未知量电流I。,方法二：广义节点法：,(流入“-”，流出“+”),解得： u1=14V u2=12V u3=4V,Chapter 3,整理得：,或将节点2、3视为广义节点直接 列写节点电压方程，有,-(1+0.5)u1+(1+0.5) u2+(1+0.5) u3=3,所以：,列写KCL方程：,设一封闭面框住理想电压源支路(如图)。,四.含受控
15、源电路的节点分析法,Chapter 3,例3-7 用节点法求如图所示电路的U和I。,解：选节点O为参考节点及独立节点1。,将独立电压源和受控电压源变换为相应的电流源得到如右图所示电路。,列写节点1的节点电压方程:,解得： U =7V,Chapter 3,用节点电压表示控制量 I：,I =1U - 6=U -6,将上式代入节点电压方程得：,所以：I=U - 6= 1A,小结： 1.节点电压法是以节点电压为电路变量的求解电路的方 法。其方程的本质是独立的KCL方程。 2.用该方法求解电路时，首先选择参考点，接着列写节 点电压方程，然后联立求解，最后根据得到的节点电压再求 其他的电量。 3.对于含受
16、控源的电路，应将受控源视为独立源列方程 后，再找出控制量与节点电压的关系式作为辅助方程，与其 他方程联立求解。,Chapter 3,教学目的,Chapter 3,1.熟练掌握含电阻电压源和电流源电路的网孔分析法。,2.会用网孔分析法或回路法求解含受控源电路及理想 电流源支路的电路。,教学内容概述,介绍电路的网孔分析法。,详细讨论以下几种情况网孔法的具体使用方法。,.含理想电流源支路的电路；,.含受控源的电路。,教学重点和难点,重点：含电阻电压源和电流源电路的网孔分析法。,难点：用网孔分析法或回路法求解含受控源电路及理 想电流源支路的电路。,.只含电阻和电压源电路；,Chapter 3,3-5
17、网孔分析法 基本思路：选择网孔电流为电路变量，对各网孔列 写KVL方程，同时代入VCR关系得到网孔电流方程组，求解得网孔电流，并可由此求得电路中其他电量。,一.只含有电阻和电压源电路的网孔方程,Chapter 3,设：网孔电流il1、il2 、il3,（假想电流）,对各网孔列写独立的KVL方程且代入欧姆定律：,l1：R1il1+ R3(il1- il2)+us2+R4(il1- il3)-us1=0,l2：R2il2+ R3(il2- il1)+ R5(il2- il3)+us3=0,l3：R4(il3-il1)-us2+R5(il3- il2)-us4+R6il3=0,注意到: i1=il1
18、， i2=il2，i3= il1- il2， i4 il3- il1，i5 il3- il2， i6 il3,整理得：,Chapter 3,(R1+R3+R4)il1- R3il2-R4il3=us1-us2,-R3il1+(R2+R3+R5)il2-R5il3=-us3,-R4il1- R5il2+(R4+R5+R6)il3=us2+us4,可解得网孔电流 il1、il2 、il3支路电流 i1、i2 、i3、i4、i5 、i6,l1：,l2：,l3：,讨论：,Chapter 3,1.自阻电压=自电阻本网孔电流，取正号。,自电阻：本网孔电阻之和。,2. 互阻电压=互电阻另一网孔电流。,互电阻
19、：本网孔与另一网孔公共支路上的电阻之和。,两网孔电流在互电阻上方向相同时取正，反之取负。,如果各网孔电流都选顺时针（逆时针）方向时，此项取负号。,3.方程右边为等效电压源：本网孔各理想电压源代数和。与网孔电流方向相同取负， 相反取正。,R11il1 R12il2 R13il3 R1milm=us11,4.网孔方程的一般形式 ：,Chapter 3,设电路有m个独立网孔, R21il1+ R22il2 R23il3 R2milm=us22,Rm1il1 Rm2il2 Rm3il3+Rmmilm=usmm,5.利用以上规律可通过观察法直接列出网孔电流方程。,例3-8 试用网孔法求解图示电路中的各支
20、路电流。,Chapter 3,解：,网孔电流方向 如图所示。,网孔电流方程为：,（2+1+2）Im1- 2Im2 - 1Im3=3 - 9,-2Im1+(2+6+3)Im2- 6Im3=9 - 6,-1Im1- 6Im2+(3+6+1)Im3=12.5 - 3,整理为：,Chapter 3,5Im1 - 2Im2 - Im3= - 6,- 2Im1+11Im2 - 6Im3= 3,- Im1 - 6Im2+10Im3= 9.5,联立求解得：,Im1= - 0.5A Im2=1A Im3=1.5A,各支路电流为：,I1=Im1= -0.5A,I2=Im2= 1A,I3=-Im3= 1.5A,I4
21、= - Im1+ Im3=2A,I5= Im1- Im2= -1.5A,I6= - Im2+ Im3= 0.5A,6.网孔法解题步骤：,Chapter 3,（1）选网孔为独立回路，标出各网孔的网孔电流方向。,（2）用观察自电阻、互电阻的办法列写各网孔的KVL方程。（以网孔电流为未知量）。,（3）求解网孔电流。,（4）由网孔电流求各支路电流。,（5）由支路电流及支路的VCR关系式求各支路电压。,二.含有电流源的网孔方程,Chapter 3,例3-9 图示电路，求各支路电流。,解：,方法一：,列方程：,辅助方程,联立求解,设ux及网孔电流il1、il2,.注：广义网孔是指将两个或两个以上的网孔视为
22、一个网孔， 此方法适用于电路内部有电流源的电路。,方法二：广义网孔法,Chapter 3,设il1、il2同上,广义网孔,对大回路（广义网孔）列方程：,方法三： 将电路变形，使is处于边界，如图示。,Chapter 3,设网孔电流，,解得：,il2=iS,支路电流：,i1=il1, i2=il2- il1 , i3=iS,方法四:,回路法:,下一节介绍。,列方程:,三.含受控源电路,Chapter 3,列写网孔电流方程的方法：,将受控电压源视为理想电压源，受控电流源视为理想电流源，按上面介绍的方法列方程后，再添加辅助方程，即去控制量所在支路（或元件）找出控制量与网孔电流的关系。,Im1=4A，
23、Im2=1A，Im3=3A,例3-10 用网孔法求图示电路的网孔电流。已知 =1， =1。,Chapter 3,解：,标出各网孔电流如图示。,1、2网孔的KVL方程为：,m1：6Im1-2Im2-2Im3=16,m2 ：-2Im1+6Im2-2Im3= -U1,m3 ： Im3=I3 （直接写出）,补充两个受控源的控制量与 网孔电流关系方程：,U1=2Im1,I3=Im1-Im2,将=1，=1代入，联立求解得：,Im1,Im2,Im3,三种方法的比较,支路：b=4，结点：n=2，网孔：m=3, 支路电流法直接应用基尔霍夫定律列方程求解，方法简单。但对于多支路情况所需方程的个数较多，求解麻烦。,
24、如：, 网孔电流法应用基尔霍夫电压定律列回路电压方程，适合回路数少的电路。, 结点电位法应用基尔霍夫电流定律列结点电流方程，适合结点数少的电路。,支路法：方程数b=4 结点法：方程数=n-1=1 网孔法：方程数m=3,3-6 回路分析法,Chapter 3,注意两点：,（1）要保证所选回路之间彼此独立，因而任一要选的回路比前面已经选过的回路至少应包含一条新支路；,（2) 把独立回路数选够，也就是说，在保证第一点的前提下选够b-(n-1)个回路。,例3-11 在例39中使用此方法。,Chapter 3,解：,设回路电流方向如图示：,列方程：,联立求解可得回路电流。若设出各支路电流，还可根 据回路
25、电流求得各支路电流。,il2,il1,小结： 1.网孔电流法是以网孔电流为电路变量的求解电路的方 法。其方程的本质是独立的KVL方程。 2.用该方法求解电路时，首先选择网孔电流，接着列写 网孔电流方程，然后联立求解，最后根据得到的网孔电流再 求其他的电量。 3.对于含受控源的电路，应将受控源视为独立源列方程 然后，再找出控制量与网孔电流的关系式作为辅助方程，与 其他方程联立求解。 4.回路电流法作为对网孔法的补充方法介绍给大家。它 常用于含无伴电流源的电路中。,Chapter 3,主编：,撰稿教师：（以姓氏为序）,制作：,责任编辑：,电子编辑：,谢谢观看，再见！,1,2,0,Is1,G,3,G
26、,1,G2,G5,Is5,G4,Is3,1,2,0,Is1,G,3,G,1,G2,G5,Is5,G4,Is3,Chapter 3,u1=-us1+R1i1,u2=R2i2,u3=R3i3,u4=R4i4,u5= R5i5+R5is,u6=R6i6,Chapter 3,(R1+R3+R4)il1- R3il2-R4il3=us1-us2,-R3il1+(R2+R3+R5)il2-R5il3=-us3,-R4il1- R5il2+(R4+R5+R6)il3=us2+us4,自电阻,自电阻电压,互电阻电压,互电阻,等效电压源,l1：,l2：,l3：,Chapter 3,(G1+G2+G5)u1-G2u2-G5u3=is1-is3,-G2u1+(G2+G3)u2-G3u3=is2,-G5u1-G3u2+(G3+G4+G5)u3is3,自电导电流项,自电导,互电导电流项,互电导,等效电流源,节点1,节点2,节点3,