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1、曲线的凹凸与拐点,曲线的凹凸,曲线的拐点,一.函数的凹凸性 前面我们应用导数判断了函数图形上升和下降 的规律，但这还不能完全反映它的变化规律如图 所示， 的图形在 区间 内虽然一直上 升，但却有着不同的弯曲 状况.,定义3.2 设函数 在区间 内，曲线 弧位于其任意一点切线的上方，则称曲线在 内是凹的；设函数在区间 内，曲线弧位于其 任意一点切线的下方，则称曲线在 内是凸的.,如左图所 示的图形 在 是凹的.,如右图所 示的图形 在 内是凸的,由前面两图可以看出，如果曲线是凹的， 曲线的切线斜率 随着 的增大而逐渐增 大，即函数 是单调增加的如果曲线是凸 的，曲线的切线斜率 随着 的增大而逐
2、渐减小，即函数 是单调递减的而 的,单调性可由 的符号决定，故曲线 的凹凸性与的 符号有关 定理3.8 设函数 在区间内二阶导 数 存在 (1)如果在 内 ，那么曲线 在 内是凹的；,(2)如果在 内 ，那么曲线 在 内是凸的,例1 判断曲线 的凹凸性 解 函数 的定义域为 ， ， ， 在 上， ， 所以曲线 在 内 是凹的如图.,例2 判断曲线 的凹凸性 解 函数 的定义域为 , , ; 当 时 ， 故曲 线在 内是凸的. 当 时 ，故曲 线在 内是凹的. 点 是曲线由凸变凹的分界点如图所示.,返回,二.曲线的拐点,定义3.3 连续曲线上凹凸的分界点称为这条曲线的拐点,由拐点的定义可知，拐点
3、是曲线凹凸的分界 点，因此，在拐点左右近旁 必然异号，而在 拐点处 或 不存在因而我们可以利 用二阶导数 的符号来判别曲线的拐点,判定曲线拐点的步骤为:,(1)确定函数 的定义域； (2)求出 ，解出使 和 不 存在的所有点 ； (3)对解出的每一个点 ，考察 在 左右近旁的符号，如果 的符号相反， 那么 就是拐点；如果 的符 号相同，那么 就不是拐点,例3 判断曲线 的凹凸性， 并求其拐点 解 (1)所求函数的定义域为 ； (2) (3) 由 ，解得: (4) 列表判断如下,表中的符号“ ”、“ ”分别表示曲线是“凹”、“凸”的. 由上表可知，曲线在区间 和 是凹的，在区间 是凸的 曲线拐点为,和,例4 判断曲线 的凹凸性，并求其拐点 解 (1)所求函数的定义域为 ； (2) ， ； (3)令 ，解得 ； (4)列表判断如下,例5 判断曲线 是否有拐点? 解 (1)函数的定义域为 ； (2) ； (3)令 ，解得 ； (4)显然 时, .所以曲线在定义 域内全部是凹的;因此曲线没有拐点,