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1、第六章第1讲,1,第六章 FIR数字滤波器的设计,版权所有 违者必究,第六章第1讲,2,1 FIR数字滤波器的性质,【问题的引入】,版权所有 违者必究,第六章第1讲,3,1 FIR数字滤波器的性质,线性相位特性,由第四章第3节知，若 满足下面的 “ 偶对称 ” 或 “ 奇对称 ” 条件： 则FIR滤波器将具有严格的线性相位特性。,版权所有 违者必究,第六章第1讲,4,FIR数字滤波器的性质,下面推导FIR滤波器的线性相位特性,偶对称情形,版权所有 违者必究,第六章第1讲,5,FIR数字滤波器的性质,则：,显然：幅度函数是标量函数，可正可负；相位函数是 的线性函数，且通过原点，即具有严格的线性相
2、位特性。,版权所有 违者必究,第六章第1讲,6,FIR数字滤波器的性质,奇对称情形：,版权所有 违者必究,第六章第1讲,7,FIR数字滤波器的性质,显然：相位特性同样为一严格的直线，但在零点处有 的截距。,则：,幅度特性,相位特性,版权所有 违者必究,第六章第1讲,8,FIR数字滤波器的性质,结论： 无论是奇对称或偶对称，其群延时均为常数， 等于 个抽样间隔。,线性相位FIR滤波器的幅频特性,分四种情况讨论,情形1：偶对称，N取奇数,的各项相对于 对称的项相等。,版权所有 违者必究,第六章第1讲,9,FIR数字滤波器的性质,将相等项合并，因N为奇数，余中间项,令 ，则：,其中,版权所有 违者必
3、究,第六章第1讲,10,FIR数字滤波器的性质,情形2：偶对称，N取偶数,与情形1推导相同 N为偶数，余项,令 ，得：,版权所有 违者必究,第六章第1讲,11,FIR数字滤波器的性质,其中,版权所有 违者必究,第六章第1讲,12,FIR数字滤波器的性质,情形3：奇对称，N为奇数,版权所有 违者必究,第六章第1讲,13,FIR数字滤波器的性质,情形4：奇对称，N为偶数,这种情况不适合做在 处为偶对称的滤波器，如低通滤波器。,上式表明：当 时， ，相当于 在z=1处有一个零点；并且由于 对 呈奇对称、对 呈偶对称，因而 也对 呈奇对称、对 呈偶对称。,版权所有 违者必究,第六章第1讲,14,FIR
4、数字滤波器的性质,下表给出了上述4种类型的线性相位滤波器的相位响应、时域幅度响应和频域幅度响应的示意图。,版权所有 违者必究,第六章第1讲,15,线性相位FIR滤波器的零点特性,FIR数字滤波器的性质,偶对称取“” 奇对称取“”,对于一个实线性相位FIR滤波器，其零点相对于单位圆镜像共轭成对。,版权所有 违者必究,第六章第1讲,16,FIR数字滤波器的性质,FIR滤波器的性能特点,版权所有 违者必究,第六章第1讲,17,2 FIR滤波器的窗函数设计方法,设滤波器要求的理想频响特性为 , 则FIR滤波器的设计问题就在于： 寻求某一系统函数 ，使该系统频 响特性 逼近 ；若要求FIR滤 波器具有线
5、性相位特性，则 必须满足上节所述的 奇对称或偶对称条件。,“线性相位FIR滤波器”的常用设计方法,窗函数法（傅立叶级数法）、频率采样法、等波纹最佳逼近法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,18,窗函数设计的基本方法,FIR滤波器的窗函数设计方法,1、设计思想 在时域，设计 逼近理想,版权所有 违者必究,第六章第1讲,19,FIR滤波器的窗函数设计方法,下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程,版权所有 违者必究,第六章第1讲,20,理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取,版权所有 违者必究,第六章第1讲,21,FIR滤波器的窗函数设计方法,2、吉布斯（Gibbs）效应,频率响应是单位脉冲响应的
6、傅立叶变换 矩形窗截取后滤波器的频率响应为：,该式为有限项，N越大，误差越小。但对矩形窗截取还存在“吉布斯（Gibbs）效应”，这将使滤波器的特性很差。,版权所有 违者必究,第六章第1讲,22,FIR滤波器的窗函数设计方法,下面从频域卷积的角度来分析由矩形窗所求得的滤波器的频率响应,版权所有 违者必究,第六章第1讲,23,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,24,FIR滤波器的窗函数设计方法,将理想低通滤波器的频率响应 表示为：,可见：设计的滤波器的幅度响应是矩形窗函数的幅度响应与理想低通滤波器的幅度响应的卷积（过程见下图）,版权所有 违者必究,第六章第1讲,25,
7、FIR滤波器的窗函数设计方法,矩形窗的卷积过程,版权所有 违者必究,第六章第1讲,26,FIR滤波器的窗函数设计方法,若增加截取长度N，则在主瓣附近的窗的频率响应为：,随着x加大，函数曲线波动的频率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同样加高，主瓣与旁瓣的相对比例保持不变。 这个相对比例由sinx/x决定, 即由矩形窗函数的形状决定。,版权所有 违者必究,第六章第1讲,27,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,28,常用窗函数,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,29,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,30,FIR
8、滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,31,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,32,下图为N=31时，矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼这5种窗口函数的包络曲线,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,33,FIR滤波器的窗函数设计方法,下图为N=51时矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼4种窗口函数的幅度响应,版权所有 违者必究,第六章第1讲,34,FIR滤波器的窗函数设计方法,下图为N=5时用矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼设计的低通滤波器的幅度响应,版权所有 违者必究,第六章第1讲,35,FIR滤波器的窗函数设计
9、方法,5、凯泽(Kaiser)窗,版权所有 违者必究,第六章第1讲,36,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,37,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,38,FIR滤波器的窗函数设计方法,几种常用的理想滤波器,版权所有 违者必究,第六章第1讲,39,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,40,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,41,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,42,FIR滤波器的窗函数设计方法,由于线性差分滤波器的幅度随频率作线性变化，在w=0 处
10、为奇对称。为实现线性相位的特性，其单位脉冲响应为奇对称且节数N为奇数。即：,版权所有 违者必究,第六章第1讲,43,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,44,此时实际的相位响应为：,FIR滤波器的窗函数设计方法,版权所有 违者必究,第六章第1讲,45,FIR滤波器的窗函数设计方法,窗函数法小结与实例,若得不到 封闭式或不能用上式计算 时，可对 在 到 间等间隔采样M，用下式代替上式的积分,利用窗函数设计FIR滤波器的过程可总结如下： 利用 ， 由给定的滤波器的幅频响应参数求出理想的单位脉冲 响应 。,版权所有 违者必究,第六章第1讲,46,FIR滤波器的窗函数设计方
11、法, 求, 必要时验算频率响应：,版权所有 违者必究,第六章第1讲,47,典 型 例 题,例1,设计一线性相位FIR数字低通滤波器,截止频率 ，过渡带宽度 ，阻带衰减 dB。,解：,版权所有 违者必究,第六章第1讲,48,典 型 例 题, 确定延时值, 采用汉宁窗 ，求得：, 求频率响应,版权所有 违者必究,第六章第1讲,49,典 型 例 题,显然：在通带范围内其相位为线性相位的； 在阻带，滤波器满足了所要求的衰减特性。,版权所有 违者必究,第六章第1讲,50,例2,典 型 例 题,用凯塞窗函数设计一线性相位FIR数字高通滤波器，截止频率 ，阻带边频 ，外阻带衰减 不小于60 dB。,解：,版
12、权所有 违者必究,第六章第1讲,51, 确定延时值, 计算理想高通的单位脉冲响应:, 求高通数字滤波器的单位脉冲响应：,典 型 例 题,版权所有 违者必究,第六章第1讲,52,典 型 例 题,版权所有 违者必究,第六章第1讲,53,例3,典 型 例 题,分别用矩形窗和布拉克曼窗设计一个线性相位的希尔伯特变换器，取N=29。,从以上的分析和例子可见窗口法设计的最大优点是十分简单实用，其频域特性容易满足要求。 缺点是在大多数情况，设计所得的频响的边界频率往往不能严格控制，同时等波纹最佳设计相比，由窗函数法设计的滤波器长度往往较大。,版权所有 违者必究,第六章第1讲,54,典 型 例 题,用矩形窗设计的希尔伯特变换器（N=29）,版权所有 违者必究,第六章第1讲,55,用布拉克曼窗设计的希尔伯特变换器（N=29）,典 型 例 题,