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1、第十一章 弯曲应力,材料力学,111 引言,第十一章 弯曲应力,111 引言,对称弯曲,平面弯曲,112 对称弯曲正应力,第十一章 弯曲应力,一、纯弯曲,112 对称弯曲正应力,纯弯曲实验,一、纯弯曲,112 对称弯曲正应力,1.纯弯曲试验,二、纯弯曲时梁横截面上的正应力,112 对称弯曲正应力,1.纯弯曲试验,2. 纵向线：,1. 横向线：,3. 上层纤维缩短，下层纤维伸长,直线,相对旋转了一个角度,平行的弧线，距离没有改变，垂直于横向线,112 对称弯曲正应力,1.纯弯曲试验,弯曲平面假设,纵向纤维之间没有挤压,2. 纵向线：,1. 横向线：,3. 上层纤维缩短，下层纤维伸长,直线相对旋转
2、了一个角度,平行的弧线，距离没有改变，垂直于横向线,112 对称弯曲正应力,单向受力假设,既不伸长、也不缩短的纤维层,中性层与横截面的交线,1.纯弯曲试验,112 对称弯曲正应力,变形几何关系,中性层的曲率半径,对于指定的横截面=常量,(a),2、公式推导,112 对称弯曲正应力,物理关系,(a),(b),横截面上一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比,b. 沿横截面的高度，按线性规律变化；,a. 在中性轴上为零,比例极限范围内:,112 对称弯曲正应力,静力关系,(b),横截面上的应力构成空间平行力系,(d),(c),112 对称弯曲正应力,为截面对z轴的惯性矩,梁的中性层变形后的曲率，,梁
3、的弯曲刚度,反映了梁抵抗弯曲变形的能力,在纯弯曲时，梁的轴线被弯曲成,静力关系,梁的轴线变形后的曲率,圆弧,112 对称弯曲正应力,静力关系,112 对称弯曲正应力,静力关系,该截面的弯矩,所求点到该截面中性轴的距离,该截面对中性轴的惯性矩,112 对称弯曲正应力,符号判断法：,1.直接代入M和 y代数值,2. 代入M和 y绝对值，再根据梁段的变形情况判断符号,公式讨论,112 对称弯曲正应力,上下边缘同时达到最大值：,A.两个对称轴的横截面(如矩形、圆形等),最大应力,112 对称弯曲正应力,最大应力,其中：,反映了梁抵抗弯曲破坏的能力,112 对称弯曲正应力,A.两个对称轴的横截面:,B.
4、一个对称轴（纵向对称轴）的横截面,最大应力,5.6 纯弯曲梁的正应力,三、横力弯曲时的正应力,可按纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应力,横力弯曲,A.变形后，横截面将发生翘曲，不再保持为平面,B.纵向纤维之间还可能会发生挤压,精确的分析表明,当梁的跨长l与横截面的高度h之比大于5时,5.6 纯弯曲梁的正应力,三、横力弯曲时的正应力,5.6 纯弯曲梁的正应力,113 惯性矩与平行轴定理,第十一章 弯曲应力,例2 求图示矩形对通过其形心且与边平行的z、y轴的惯性矩Iz、Iy,dA,解：平行于z轴取微面积：,同理：,113 惯性矩与平行轴定理,一、简单截面的惯性矩,例3 求图示圆对过圆心的任意正
5、交直径轴的惯性矩Iz、Iy 。,解：,113 惯性矩与平行轴定理,二、组合公式,113 惯性矩与平行轴定理,三、平行轴定理,已知： ，形心在zOy坐标系下的坐标(a，b)，求Iz、Iy,113 惯性矩与平行轴定理,在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩中，,以对形心轴的惯性矩为最小。,三、平行轴定理,113 惯性矩与平行轴定理,例1 试求图示矩形截面梁1-1截面上的D与E点的正应力,113 惯性矩与平行轴定理,例1 试求图示矩形截面梁1-1截面上的D与E点的正应力,113 惯性矩与平行轴定理,例1 试求图示矩形截面梁1-1截面上的D与E点的正应力,（压）,（拉）,113 惯性矩与平行轴定理,
6、B截面：,C截面：,例 4 求 M+max , M-min, 并求各自的最大拉应力和最大压应力,113 惯性矩与平行轴定理,114 对称弯曲切应力,横力弯曲,另一些梁则是因切应力达到剪切强度极限而破坏,横截面上既有正应力、又有切应力,实践表明,有些梁是因正应力达到拉伸或压缩强度极限而破坏,跨度小、截面高的木梁,第十一章 弯曲应力,一、横力弯曲梁横截面上的切应力,1对横截面中性轴平行线上的切应力作以下假设,1)各点切应力的作用线平行或交于一点,2)各点切应力沿剪力FS的分量ty均相等,114 对称弯曲切应力,一、横力弯曲梁横截面上的切应力,1对横截面中性轴平行线上的切应力作以下假设,1)各点切应
7、力的作用线平行或交于一点,2)各点切应力沿剪力FS的分量ty均相等,114 对称弯曲切应力,一、横力弯曲梁横截面上的切应力,2横截面上切应力的计算公式：,114 对称弯曲切应力,一、横力弯曲梁横截面上的切应力,2横截面上切应力的计算公式：,y,m,m,114 对称弯曲切应力,一、横力弯曲梁横截面上的切应力,3关于切应力公式的说明,1) 求出的是距中性轴 y处沿 剪力FS方向的切应力分量ty,2)由于横截面周边与y轴夹角qm最大，因此该处切应力最大,y处平行于中性轴线以外面积对z轴的静矩；,y处截面的有效宽度,114 对称弯曲切应力,二、应用,矩形截面梁：,2)求距中性轴y处的切应力ty：,1)
8、 矩形截面上各点的切应力均平行于FS,114 对称弯曲切应力,5-4 弯曲剪应力,横截面的翘曲变形,工字形截面梁,腹板中t的分布规律,沿腹板的高度按二次抛物线规律分布,tmax和tmin,时，,时，,当 时，,腹板中的切应力近似地均匀分布,腹板中的剪力占截面上的总剪力FS的(0.950.97)%,工字形截面梁,翼缘中的切应力,分布比较复杂,切应力流,工字形截面梁,例2 试求图示矩形截面梁1-1截面上的D与E点的切应力,解：,114 对称弯曲切应力,115 梁的强度条件,一、正应力强度条件,二、切应力强度条件,第十一章 弯曲应力,一、正应力强度条件,1.对于抗拉和抗压强度相等的材料(如低碳钢),
9、2.对于抗拉和抗压强度不相等的材料(如铸铁）,许用拉压应力,115 梁的强度条件,等直梁：,等直梁：,中性轴是对称轴,中性轴不是对称轴,一、正应力强度条件,（A）通常：,（B）单对称轴梁（脆性材料）：,等直梁：,危险截面：,115 梁的强度条件,例3 铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材料的许用,解：,危险截面,115 梁的强度条件,解：,B截面,C截面,115 梁的强度条件,解：,5.讨论,若梁的载荷不变，将T形横截面倒置(成形横截面)， 是否合理？,因此:倒置不合理,115 梁的强度条件,二、弯曲切应力强度条件,梁的最大切应力：,1.切应力强度条件,材料的许用切应力,中性轴上,等直
10、梁：,危险截面,115 梁的强度条件,例5 由两根槽钢组成的外伸梁如图所示,已知t=100MPa,s=170MPa。试选择槽钢型号,解：,按正应力强度条件选择截面, No.36c,115 梁的强度条件,例5由两根槽钢组成的外伸梁如图所示,已知t=100MPa,s=170MPa,试选择槽钢型号,解：,校核切应力强度,工字形截面：,115 梁的强度条件,116 梁的合理强度设计,1弯曲正应力是控制梁强度的主要因素；,2提高梁强度的措施；,1)采用合理的截面形状，提高抗弯截面系数Wz,2)采用等强度梁或变截面梁,3)改善梁的受力条件，降低Mmax,第十一章 弯曲应力,一、梁的合理截面形状,1面积A不
11、变，Wz越大，则截面 形状越合理,2材料特性对截面形状的要求,2)优先采用工字形、槽形、箱形和圆环形截面,1)为提高Wz/A，截面上的材料应尽可能远离中性轴,2)抗拉、压强度不同的材料，采用中性轴偏向受 拉侧的截面形状，如T形、不对称工字形等截面,1)拉压强度相等的材料，采用上下对称截面,3同时需考虑弯曲切应力强度,由腹板和翼缘组成的薄壁截面，如型钢截面等，弯曲正应力由两端翼缘承担，弯曲切应力由中间腹板承担,116 梁的合理强度设计,二、采用等强度梁或变截面梁,变截面梁：,116 梁的合理强度设计,二、采用等强度梁或变截面梁,1等强度观点的等高矩形截面悬臂梁的宽度b(x),固定端,等强度梁：,任意横截面最大正应力都相等的变截面梁,该等强度梁的重量是同样强度等截面梁的一半,和x截面最大正应力相等,116 梁的合理强度设计,二、采用等强度梁或变截面梁,叠板弹簧设计思路：,116 梁的合理强度设计,三、改善梁的受力条件,1简支梁变外伸梁 (注意最佳的外伸长度),2集中力分散，最好为均布载荷集度,3集中力靠近支座或采用增加支座的超静定梁,116 梁的合理强度设计,