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1、,第9章 动量矩定理,理论力学,91 动量矩 92 动量矩定理 93 刚体绕定轴转动的微分方程 94 刚体对轴的转动惯量 95 质点系相对于质心的动量矩定理 96 刚体的平面运动微分方程,第9章 动量矩定理,由前一章知，当质心为固定轴上一点时，vC=0，其动量恒为零，质心无运动，但质点系确受外力的作用。动量定理揭示了质点和质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理揭示了质心运动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。 本章要介绍的动量矩定理，动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点(轴）之矩两者之间的关系，从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的运动
2、规律,9-1 动量矩,1质点的动量矩 设质点Q 某瞬时动量为 mv ， 其对O 点的位置为矢径r ， 如图 所示， 定义质点Q 的动量对于O 点的矩为质点对点O 的动量矩 定义指点动量mv 在Oxy 平面的投影（mv)xy 对于点O 的矩，为质 点动量对于z 轴的矩，简称对于z 轴的动量矩。分别表示如下,质点系对点O动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和，或者称为质点系对点O 的主矩，即,动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。单位：kg2/s。,从图可以看出，质点对于O点的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩。即正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负，逆时针
3、为正,2质点系的动量矩,刚体平动时，可把质量集中于质点，作为一个质点计算其动量矩；,质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z动量矩的代数和，即,同理有,上式表明：质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。,令 ，称为刚体对z轴的转动惯量，于是有,即绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积,刚体作定轴转动时，对转轴的矩,刚体的平面运动时可以分解为随同质心的平动与绕质心的转动，其对垂直于刚体质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和，即:,解：,例1 滑轮A：m1，
4、R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。,9-2 动量矩定理,1质点的动量矩定理,对质点动量矩求一次导数，得,因为,故,上式表示质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩，称为质点动量矩定理。其投影式分别为,2质点系的动量矩定理,i =1,2,n ; n个方程相加，有,n个质点，由质点动量矩定理有,由于,于是,上式表明质点系对于某定点O 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和，（外力对点O 的主矩）称为质点系动量矩定理，其投影式为：,3动量矩守恒定理,如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对
5、该点的动量矩保持不变，即,作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即,以上结论称为质点动量矩守恒定律 同理，当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩守恒定律。 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。,运动分析： ，,由动量矩定理 即,解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。,例2 图示单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止开始释放。 求单摆的运动规律。,注：计算动量矩与力矩时，正负号规定应一致（本题规定逆时针转向为正） 质点动量矩定理的应用： 在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题
6、。,解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。 运动分析： v =,由动量矩定理：,例3 已知:,解：因,猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为 。,例4 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？ 动的速度多大？（轮重不计）,故系统的动量矩守恒。,9-3 刚体绕定轴的转动微分方程,如图示一定轴转动刚体，由质点系对z轴动量矩定理,以上各式称为刚体绕定轴转动微分方程,刚体绕定轴转动主要解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律；已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。,特殊情
7、况： 若外力矩恒为零，则刚体作匀速转动或保持静止； 若外力矩为常量，则刚体作匀变速转动。 将 比较，刚体的转动惯量的大小体现了刚体转动状态改变的难易程度，是刚体转动惯性的度量。,9-4 刚体对轴的转动惯量,定义：刚体对任意轴z的转动惯量定义为： 若刚体的质量是连续分布，则：,转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kgm2 。,（1）匀质细直杆长为l ,质量为m ，其分别对z和z轴的转动惯量,1简单形状物体的转动惯量计算,（2）匀质圆环半径R，质量为m ，其对中心轴z的转动惯量为,（3）匀质圆板半径R，质量为m ，其对中心轴z的转动惯量。 任取一圆环，则,2. 回转半径 定义：,即物体转动惯量等于
8、该物体质量与回转半径平方的乘积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。,则,3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即,证明：设质量为m的刚体，质心为C，,在坐标系Oxyz中，其质心坐标：,即：,当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。,4计算转动惯量的组合法,解：,例5 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质
9、圆盘：m2 , R 。 求 JO 。,例6 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求： 物体C上升的加速度。,取轮B 连同物体C 为研究对象,补充运动学条件,化简(1) 得：,化简(2) 得：,解: 取轮A 为研究对象,1.对质心的动量矩,有,由于,得,其中,9-5 质点系相对于质心的动量矩定理,即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度还是以绝对速度计算，质点系对于质心的动量矩的结果相同.,对任一点O的动量矩：,2 相对质心的动量矩定理,由于,即,由此可得：,又由于,得：,即质
10、点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心力矩的矢量和，称为质点系对质心的动量矩定理。 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系,如图所示一平面运动刚体， D为刚体上任一点，C为质心，Cxy为固连于质心的平移参考系，刚体的运动可分解为随质心的平移和绕质心的转动两个部分。该刚体上作用有力系F1，F2，F3，Fn，则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得,9-6 刚体的平面运动微分方程,也可写成,以上两式称为刚体的平面运动微分方程。应用时，前一式取投影式。,例7 质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为
11、q 的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、f ，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。,解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。 运动分析：取直角坐标系 Oxy aC y =0，aC x =aC 一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程，有,由2式得,1 2 3 4,1 ，3两式中含有三个未知数aC 、FS、a ，需补充附加条件。,1设接触面绝对光滑，即f = f =0,讨论,因为轮由静止开始运动，故0，轮沿斜面平动下滑。,3设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。FS=fFN，可解得,轮作纯滚动的条件：,表明：当 时，解答3适用； 当 时，解答2适用；f =0 时解
12、答1适用。,2设接触面足够粗糙。轮作纯滚动， 所以可解得,例8 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在 绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重 不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。 求（1） 圆柱B下落时质心的加速度。 （2） 若在圆柱体A上作用一逆时 针转向的转矩M，试问在什么条件下 圆柱B的质心将上升。,选圆柱B为研究对象, ,解：选圆柱A为研究对象,由、式得：,代入、式得：,由动量矩定理：,补充运动学关系式：,代入式，得,当M 2Pr 时， ，圆柱B的质心将上升。,再取系统为研究对象,研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程， 找出质心运动与刚体转动之间的联系。 应用动量矩定理列方程时, 要特别注意正负号的规定的一 致性。,第9章结束,