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1、BCH码与RS码,BCH码,定义：给定任一有限域GF(q)及其扩域GF(qm),其中q是素数或素数的幂，m为某一正整数。若码元取自GF(q)上的一循环码，它的生成多项式g(x)的根集合R中含有以下d-1个连续根， as,as+1,as+d-2 时，则由g(x)生成的循环码为q进制BCH码。 a是域GF(qm)中的n级元素 mi(x)和ei分别是as+i(i=0,d-2)元素的最小多项式和级， g(x)=LCM(m0(x),m1(x),md-2(x) n=LCM(e0,e1,ed-2) 本原BCH码，非本原BCH码,BCH码,BCH限：BCH码的最小距离dBCH至少为d HT限：若BCH码的生成
2、多项式g(x)的根集R中含有s组d-1个a的连续元素， 且(n,a)=1，aGF(qm)是n级元素，则码的最小距离dHT=d+s-1,BCH码的设计距离和实际距离,二进制本原BCH码的码长n=2m-1，设计距离d若为2t+1,则若 当t0，则码的实际距离等于设计距离。 若码长n=ab，且二进制BCH码的设计距离d=a，则a是码的实际距离 长为n=qm-1的GF(q)上的BCH码，若有设计距离d=qh-1，则码的实际距离等于d 设计距离为d的GF(q)上的本原BCH码，它的实际最小距离d=qd+q-2,二进制BCH码,对任何正整数m和t，一定存在一个二进制BCH码，它以a,a3,a2t-1为根，
3、其码长n=2m-1或是2m-1的因子，能纠正t个随机错误，校验位数目至多为deg(g(x)=mt个。 Eg：m=4,aGF(24)是本原域元素，它是x4+x+1的根，求码长n=24-1=15的二进制BCH码。,BCH码的扩展,n,k,d n+1,k,d+1 d为奇数 2m-1,k,d本原BCH码2m,k,d+1扩展本原BCH码,RS码,GF(q)(q2)上，码长N=q-1的本原BCH码称为RS码 RS码的码元的符号域与根域一致 RS码是极大最小距离可分码，MDS码,RS码,RS码的参数：q-1, k, q-k q-1, q-1-(d-1), d 常用RS码：GF(23)上的255, k, 25
4、5-k+1 光盘、硬盘等磁记录信道应用,RS码的扩展,对RS码而言，增加一个全校验位，总可使最小距离增加1. N=qm-1, K, D N+1, K, D+1 双扩展RS码qm+1, k, qm-k+2 扩展RS码与双扩展RS码都是极大最小距离可分码。 RS码的映射扩展码： (m+1)(2m-1),mK,d=2D=2(2m-K) 双重映射扩展码： (m+1) 2m,mK,d=2D=2(2m-K+1) 以a,a2,aD-1为根的N=2m-1,K,DGF(2m)上的RS码，包含了码长为N、距离等于D的二进制本原BCH码。类似的，扩展RS码包含了扩展BCH码,BCH码的一般译码,彼得逊Peterso
5、n 1960 迭代译码 波力坎普Berlekamp 1966 BM算法 Massey 1969 频域译码 Blahut 1978 超设计距离译码,BCH码的一般译码,根据接收序列计算伴随式 由伴随式找错误图样 根据错误图样和接收序列得到可能发送的码字,BCH码的译码,令,，则有,加权幂和对称函数,2t个方程，2t个未知数，非线性方程组求解,错误位置多项式,初等幂和对称函数,t个方程，t个未知数，有解的充要条件是M矩阵满秩,Ms=-S,如果sj(j=m0, m0+1, , m0+t-1)是由t个不同的非零数 对(xi, Yi)组成，则矩阵,满秩，否则为非满秩,钱搜索,解s(x)的根即确定R(x)
6、中错误的位置。若判断第一位rn-1是否有错，则相当于译码器确定an-1是否是错误位置数，等价于检验a-(n-1)=a是否是s(x)的根。 s1al+s2a2l+statl=-1 rn-1有错 s1al+s2a2l+statl -1 rn-1正确,n级缓冲存储器,a,a2,at,s1,s2,st,门,输入R(x),Yi,输出C(x),钱搜索电路,BCH码的译码,由接收到的R(x)，求sj 由si求错误位置多项式 用钱搜索解出s(x)的根，得到错误位置数，确定错误位置 根据错误位置数求错误值，从而得到错误图样 根据接收值和错误图样，计算发送码字,BCH码的迭代译码,BM算法 易于用计算机完成译码 关键是加快求s(x)的速度,BM算法基本原理,设,令,表示上述二者乘积,由于,